1) $\left\{\begin{array}{I}x+my=9\\mx-3y=4\end{array}\right.$

Với $m=0$ hệ phương trình tương đương

$\left\{\begin{array}{I}x=9\\y=-\dfrac43\end{array}\right.$

hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với $m\ne 0$

$\left\{\begin{array}{I}x+my=9\\mx-3y=4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{I}mx+m^2y=9\\mx-3y=4\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}mx+m^2y=9m\\mx-3y=4\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=9-my\\(m^2+3)y=9m-4\end{array}\right.$

Do $m^2+3>0$ $\forall x$

nên $y=\dfrac{9m-4}{m^2+3}, x=9-m.\dfrac{9m-4}{m^2+3}=\dfrac{27+4m}{m^2+3}$

Với mỗi giá trị của m chỉ cho 1 cặp nghiệm (x,y).

Vậy với mọi giá trị của $m$ hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

2) $\left\{\begin{array}{I}3x-my=-9\\mx+2y=16\end{array}\right.$

Với $m=0$ ta có: $\left\{\begin{array}{I}x=-3\\y=8\end{array}\right.$ không thỏa mãn $x+y=7$

Với $m\ne 0$ ta có:

$\left\{\begin{array}{I}3x-my=-9\\mx+2y=16\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}3mx-m^2y=-9m\\3mx+6y=48\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{I}x=\dfrac{my-9}{3}\\y(6+m^2)=48+9m\end{array}\right.$

Do $6+m^2>0$ $\forall x$

$\Rightarrow y=\dfrac{48+9m}{6+m^2}\Rightarrow x=\dfrac{m.\dfrac{48+9m}{6+m^2}-9}{3}=\dfrac{16m-18}{6+m^2}$

Để $x+y=7$ thì:

$\dfrac{16m-18}{6+m^2}+\dfrac{48+9m}{6+m^2}=7$

$\Leftrightarrow 16m-18+48+9m=42+7m^2$

$\Leftrightarrow 7m^2-25m+12=0$

$\Delta=25^2-4.7.12=289>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $m_1=\dfrac{25-\sqrt{289}}{2.7}=\dfrac47$ không là giá trị nguyên (loại)

hoặc $m=3$

Vậy với giá trị nguyên $m=3$ thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn $x+y=7$.

3) 

3 đường thẳng đồng quy khi chúng có 1 điểm chung, suy ra hệ phương trình dưới có nghiệm duy nhất

$\left\{\begin{array}{I}3x+2y=4\text{ (1)}\\2x-y=m\text{ (2)}\\x+2y=3\text{ (3)}\end{array}\right.$

Lấy (1)-(3) ta được:

$2x=1\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{4-3x}{2}=\dfrac54$

$\Rightarrow 2.\dfrac12-\dfrac54=m\Rightarrow m=-\dfrac14$

Vậy với $m=-\dfrac14$ thì 3 đường thẳng đồng quy tại điểm $(\dfrac12;\dfrac54)$