a) Ta có $\widehat{ACE}=\widehat{ACB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AICE$ có: $\widehat{ACE}+\widehat{AIE}=180^o$

$\Rightarrow AICE$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AE)$.

b) Xét $\Delta IAF$ và $\Delta IEB$ có:

$\widehat{FIA}=\widehat{BIE}=90^o$

$\widehat{IFA}=\widehat{IBE}$ (cùng phụ $\widehat{CAB}$)

$\Delta IAF\sim\Delta IEB$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{IA}{IE}=\dfrac{IF}{IB}$

$\Rightarrow IA.IB=IE.IF$.

c) $\Delta AFB$ có $BC,FI$ là hai đường cao $E\in CB\cap FI\Rightarrow E$ là trực tâm $\Delta AFB$

$\Rightarrow AE\bot FB$ (1)

$\Delta CEF\bot C\Rightarrow \Delta CEF$ nội tiếp đường tròn đường kính (EF)

$N$ là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE, nên N thuộc đường tròn (EF)

$\Rightarrow C,E,N,F$ cùng thuộc đường tròn

$\Rightarrow\widehat{ENF}=90^o$ (góc nội tiếp chắn đường kính EF)

$\Rightarrow EN\bot FN$

$N$ là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF và AE nên N thuộc AE nên A, E, N thẳng hàng

hay $\Rightarrow AE\bot FN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $FN//FB\Rightarrow F,N,B$ thẳng hàng

$\Rightarrow \widehat{ANB}=90^o\Rightarrow N\in(AB)$ hay $N\in(O,R)$

d) Gọi giao điểm của đường tròn tâm K và AB là M

Khi đó M thuộc đường tròn tâm K nên MEFA là tứ giác nội tiếp (K)

$\Rightarrow\widehat{AFE}={EMI}$ (cùng bù $\widehat{AME}$)

$\widehat{FIA}=\widehat{MIE}$

$\Rightarrow\Delta FIA \sim\Delta MIE(gg)$

$\Rightarrow\dfrac{IF}{IM}=\dfrac{IA}{IE}$

$\Rightarrow IA.IM=IF.IE=IA.IB$ (câu b)

$\Rightarrow IM=IB\Rightarrow M$ cố định $\Rightarrow  AM$ cố định

$KA=KM$ (cùng là bán kính $(K)$)

$\Rightarrow K$ luôn nằm trên đường trung trực của AM.