Đáp án + Giải thích các bước giải:

 Đặt $a^2 = 2^8 + 2^{11} + 2^n$

$\Rightarrow a^2 = 2^n + 256 + 2048$

$a^2 = 2^n + 2304$
$a^2 = 2^n + 48^2$
$2^n = a^2 - 48^2$

$2^n = a^2 + 48a - 48a - 48^2$

$2^n = a(a + 48) - 48(a + 48)$

$2^n = (a - 48)(a + 48)$

$\Leftrightarrow \exists$ (tồn tại) $p, q$ sao cho $a - 48 = 2^p, a + 48 = 2^q(p, q \in N; p < q; p + q = n)$

$\Rightarrow 2^p - 2^q = a - 48 - a - 48 = -96 \Leftrightarrow 2^q - 2^p = 96$

$\Leftrightarrow 2^p(2^{q - p} - 1) = 96$

$\Rightarrow \begin {cases} 2^p = 2^5 \\ 2^{q - p} - 1 = 3 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} p = 5 \\ 2^{q - 5} = 4 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} p = 5 \\ 2^{q - 5} = 2^2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} p = 5 \\ q - 5 = 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} p = 5 \\ q = 7 \end {cases}$

$n = p + q = 5 + 7 = 12$

Thử lại: $2^8 + 2^11 + 2^12 = 256 + 2048 + 4096 = 6400 = 80^2$

Vậy với $n = 12$ thì $2^8 + 2^11 + 2^n$ là số chính phương

Bài 17:

Ta có: 

$(x^2 + y^2 - x)  \vdots xy$

$\Rightarrow (x^2 + y^2 - x) \vdots x$

$\Rightarrow y^2 \vdots x$

Đặt $y^2 = xk (k \in \mathbb{Z}, k > 0)$

$\Rightarrow (x^2 + (xk)^2 - x) \vdots xy$

$\Rightarrow (x^2 + x^2k^2 - x) \vdots xy$

$\Rightarrow x(x + xk^2 - 1) \vdots xy$

$\Rightarrow (x + xk^2 - 1) \vdots y$

Gọi $a = ƯCLN (x, k)$

Ta có:

$y^2 = xk$

$\Rightarrow y^2 \vdots d^2$

$\Rightarrow y \vdots d$

Mà $(x + xk^2 - 1) \vdots y$

$\Rightarrow x + xk^2 - 1 \vdots d$

Mà $x \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1$

$\Rightarrow ƯCLN (x, k) = 1$

$\Rightarrow x$ và $k$ nguyên tố cùng nhau

Mà $xk = y^2$ là một số chính phương

$\Rightarrow x$ là một số chính phương