Đáp án:

a) Xét ΔAHE và ΔAKE vuông tại E có:

+ AE chung

+ góc HAE = góc KAE (AE là phân giác góc BAC)

=> ΔAHE = ΔAKE (cgv-gn)

=> AH = AK

=> ΔAHK cân tại A

b) Do ΔAHK cân tại A nên góc BHI = góc AKH

Mà BI//AK

=> góc AKH = góc BIH (đồng vị)

=> góc BHI = góc BIH

=> ΔBHI cân tại B

c)

Xét ΔBDI và ΔCDK có:

+ góc IBD = góc KCD (so le trong)

+ BD = CD

+ góc BDI = góc CDK (đối đỉnh)

=> ΔBDI = ΔCDK (g-c-g)

=> BI = CK

Mà ΔBHI cân tại B nên BI = BH

=> BH = CK

d)

$\begin{array}{l}
AB = 9cm\\
AC = 12\left( {cm} \right)\\
AC = AK + KC\\
 = AH + KC\\
 = \left( {AB + BH} \right) + KC\\
 = AB + BH + KC\\
 = AB + 2.BH\left( {do:BH = KC} \right)\\
 \Rightarrow 12 = 9 + 2.BH\\
 \Rightarrow BH = 1,5\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow AH = AB + BH = 9 + 1,5 = 10,5\left( {cm} \right)
\end{array}$