Giải thích các bước giải:

a.$n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2-4+5\right)\\ =n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\\ \text{n-2,n-1,n, n+1,n+2 là 5 số tự nhiên liên tiếp}\\ \text{ suy ra tích của nó chia hết cho 2, 3, 4 => (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30}\\ \text{Tương tự ta có (n-1).n.(n+1) chia hết cho 2,3 Suy ra 5(n-1).n.(n+1) chia hết cho 30}\\ \rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\quad\vdots\quad 30$ b.Đặt $A = n^4 - 10n^2 + 9\\ = (n^4-n^2)-(9n^2-9) = (n^2-1).(n^2-9)\\ =(n-1).(n+1).(n-3).(n+3)$ Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k thuộc Z) Khi đó A = 2k.(2k+2).(2k-2).(2k+4) = 16.k.(k+1).(k-1).(k+2) Ta thấy k-1;k;k+1;k+2 là 4 số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và có 1 số chia hết cho 3 => k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 3 và 8 => k.(k+1).(k-1).(k+2) chia hết cho 24 [vì(3;8)=1] =>A chia hết cho 16.24 = 384 => ĐPCM c.$10^n+18n-28\quad \vdots 27\quad \rightarrow 10^n+18n-1 \quad \vdots 27$ Ta có: $10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n$ (số 99...9 có n chữ số 9) = 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). => 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1)