a, △ABC△ABC có: D là trung điểm của BCBC, E là trung điểm của AC

⇒DE là đường trung bình của △ABC

⇒{DE=12AB(1)DE//AB(2)

(1)⇒DE=12.6=3

b, Có: FF là điểm đối xứng với DD qua EE

⇒DE=DF

⇒DF=2DE=2.12AB=AB(3)

 (theo (1)(2),(3)⇒ABDF(2),(3)⇒ABDF là hình bình hành □◻

c, ABDF là hình bình hành ⇒{AF//BD(4)AF=BD

Mặt khác D là trung điểm của BC nên BD=BC ⇒AF=BC(5)

(4),(5)⇒ADCF là hình bình hành

Ta lại có: {AB⊥AC(ˆA=90∘)AB//DF⇒AC⊥DF

Vậy hình bình hành ADCFcó hai đường chéo vuông góc hay là ADCFlà hình thoi 

Có ADCF là hình thoi ⇒AE=12AC=4

△ADE có ˆE=90∘ (AC⊥DF)

⇒AE2+DE2=AD2(Định lý Pythagore)

thay AE=4AE=4 và DE=3DE=3 tính được AD=√42+32=√25=5

d, Để ADCF là hình vuông thì AD⊥BC

Mà có DC=DB=12BC(gt) nên AD⊥BC khi và chỉ khi AD là đường trung trực của BC

Tức là AB=AC hay △ABC vuông cân tại A

Điều kiện để ADCF là hình vuông là △ABC vuông cân tại A

~ gửi bạn ~

Giải thích các bước giải:

Vì `DE` là đường trung bình của tam giác `ABC `

`⇒`$ AB// DE$ và `AB = 2DE`

Vì `F` đối xứng với `D` qua `E` `⇒ DF =2DE`

$⇒DF//AB$ và $DF = AB$

`⇒` tứ giác `ABDF` là hình bình hành.

`c. `

Vì $DF//AB$ mà `AB` vuông góc với `AC`

`⇒DF` vuông góc với ` AC ` tại `E`

Mà `E` là trung điểm của `DF`

`⇒AC` là trung trực của ` DF`

`⇒AD = AF, CD = CF`

Mặt khác ta có : `AD = CD` ( tc của đường trung tuyến của tam giác vuông)

`⇒AD = DC =CF= FA`

`⇒`  Tứ giác `ADCF` là hình thoi.

Theo định lý Pitago trong tam giác vuông ABC ta có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 64 = 100 → BC = 10`

`→ AD =1/2BC = 5`

`d.`

 Vì `ADCF` là hình vuông `⇒AD` vuông góc với `BC `

`⇒AD` là đường cao của tam giác `ABC`

Mà `AD` là trung tuyến của tam giác `ABC`

`⇒` tam giác `ABC` cân tại `A.`