Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a,ΔABC có D là trung điểm AC
               E là trung điểm AB
⇒DE là đường trung bình của ΔABC⇒ DE// BC; DE=$\frac{1}{2}$BC 
TT: HK là đường trung bình của Δ GBC⇒ HK//BC; HK=$\frac{1}{2}$BC 
 Khi đó DE//HK, DE=HK⇒ Tứ giác DEHK là hình bình hành(dpcm)
b, dễ cm: EK=$\frac{2}{3}$EC, DH=$\frac{2}{3}$DB ( Dùng G là trọng tâm tam giác ABC, H là trung điểm GB, K là trung điểm GC)
Để hình bình hành DEHK là hình chữ nhật
⇔ DH=KE⇔EC=DB⇔ Δ ABC cân tại A
c, BD⊥CE⇔EK⊥DH⇔ Hình bình hành DEHK là hình thoi( tính chất)

d, theo câu c, thì BD⊥CE thì hbh DEHK là hình thoi
diện tính của hình thoi DEHK=$\frac{1}{2}$ DH. KE=$\frac{1}{2}$. $\frac{2}{3}$DB.$\frac{2}{3}$EC
=$\frac{2}{9}$.12.15=40(cm² )

Giải thích các bước giải: a,ΔABC có D là trung điểm AC                E là trung điểm AB ⇒DE là đường trung bình của ΔABC⇒ DE// BC; DE=1212BC  TT: HK là đường trung bình của Δ GBC⇒ HK//BC; HK=1212BC   Khi đó DE//HK, DE=HK⇒ Tứ giác DEHK là hình bình hành(dpcm) b, dễ cm: EK=2323EC, DH=2323DB ( Dùng G là trọng tâm tam giác ABC, H là trung điểm GB, K là trung điểm GC) Để hình bình hành DEHK là hình chữ nhật ⇔ DH=KE⇔EC=DB⇔ Δ ABC cân tại A c, BD⊥CE⇔EK⊥DH⇔ Hình bình hành DEHK là hình thoi( tính chất) d, theo câu c, thì BD⊥CE thì hbh DEHK là hình thoi diện tính của hình thoi DEHK=1212 DH. KE=1212. 2323DB.2323EC =2929.12.15=40(cm² )