a) Xét $\Delta$ vuông $AHB$ và $\Delta $ vuông $AHM$ có;

$AH$ chung

$BH=MH$

$\Rightarrow \Delta$ vuông $AHB=\Delta $ vuông $AHM$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AB=AM$ (1)

Chứng minh tương tự $\Delta$ vuông $BHA=\Delta $ vuông $BHD$

$\Rightarrow BA=BD$ (2)

$\Delta$ vuông $DHB=\Delta $ vuông $DHM$

$\Rightarrow BD=DM$ (3)

$\Delta$ vuông $MHD=\Delta $ vuông $MHA$

$\Rightarrow MD=MA$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $AB=BD=DM=MA$

$\Rightarrow ABDM$ là hình thoi

c) $ABDM$ là hình thoi $\Rightarrow DM\parallel AB$

$AB\bot AC$

$\Rightarrow DM\bot AC$

$\Rightarrow \Delta ACD$ có hai đường cao $DM$ và $CH$ cắt nhau tại $M$

$\Rightarrow M$ là trực tâm $\Delta ADC$

d)

a, Xét $ΔABH$ và  $ΔADH$ có:

$AH=HD$

$∠AHB=∠MHD$

$∠BAH=∠HDM$

$=>ΔABH=ΔDMH$

$=>AB=DM$

$=>ABDM$ là HBH

 Và: $AH⊥BM$

$=>ABDM$ là hình thoi.

b, Vì: $DN//AB$

Và: $AM⊥AC$

$=> DN⊥AC$

$=>M$ là trực tâm

c, Xét $ΔAHC$ vuông tại $H$ có: $HN⊥AC$

$=>HN=NC=>ΔHCN$ cân tại $N$ 

$=>∠NHC=∠NCH$

$ΔNMC$ vuông tại $N=>NI=IM=>∠INM=∠NMI$ 

Mà: $∠NMI+∠NCH=90^0=>∠NHC+∠MNI=90^0=>∠HNI=90^0$

$=>Đpcm$