Bài `17.`

Áp dụng BĐT Cô-si ta được :

`x^4+y^4\ge 2\sqrt{x^4y^4} = 2x^2y^2`

`y^4+z^4\ge 2\sqrt{y^4z^4}=2y^2z^2`

`x^4+z^4\ge 2\sqrt{x^4z^4}=2x^2z^2`

Cộng theo vế :

`<=> 2 (x^4+y^4+z^4)\ge 2 (x^2y^2+y^2z^2 + x^2z^2)`

`<=>x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2`

Áp dụng BĐT Cô-si ta được :

`x^2y^2+y^2z^2\ge 2\sqrt{x^2y^2y^2z^2}=2xy^2z`

`y^2z^2+x^2z^2\ge 2\sqrt{y^2z^2 x^2z^2}=2xyz^2`

`x^2y^2+x^2z^2\ge 2\sqrt{x^2y^2x^2z^2}=2x^2yz`

Cộng theo vế ta được :

`2(x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2)\ge 2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)`

`<=>x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz + xy^2z +xyz^2 = xyz`

`<=> x^4+y^4+z^4\ge xyz`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`x=y=z`

Mà `x+y+z=1`

`<=>x=y=z=1/3`

`B=(3. 1/3-1)^{2021} + (3. 1/3 - 1)^{2022} + (3.1/3 -1)^{2023}`

`= 0+0+0`

`=0`

Vậy `B=0`

Bài `18.`

Đặt `Q=x/(x^2-x+1)`

`<=> 1/Q` $=\dfrac{1}{\dfrac{x}{x^2-x+1}}$

`<=> 1/Q = (x^2-x+1)/x`

`<=>1/Q = x - 1 + 1/x`

`<=> 1/a = x + 1/x - 1`

`<=>x+1/x=1/a+1`

`M=x^2/(x^4+x^2+1)`

`<=>1/M` $=\dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}}$

`<=>1/M = (x^4+x^2+1)/x^2`

`<=> 1/M = x^2 + 1 + 1/x^2`

`<=> 1/M = (x^2 + 2 . x . 1/x + 1/x^2) -1`

`<=> 1/M = (x+1/x)^2 - 1`

`<=>1/M =  (1/a+1)^2-1`

`<=> 1/M=1/a^2 + 2/a + 1-1`

`<=>1/M = 1/a^2+2/a`

`<=> 1/M = 1/a^2 + (2a)/(a^2)`

`<=>1/M=(2a+1)/a^2`

`<=>M=a^2/(2a+1)`

Vậy `M=a^2/(2a+1)`