Lời giải:

a) Từ $O$ kẻ $OH\perp AB$

$\Rightarrow OH$ là khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$

Ta có: $OH\perp AB$ (cách dựng)

$\Rightarrow HA = HB = \dfrac12AB = 5\ cm$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Tương tự, kẻ $OK\perp AC$

$\Rightarrow KA = HC = \dfrac12AC = 12\ cm$

Xét tứ giác $AHOK$ có:

$\widehat{A}  = \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ$

Do đó $AHOK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin{cases}OH = KA = 12\ cm\\OK = HA = 5\ cm\end{cases}$

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB,\ AC$ lần lượt là $12\ cm$ và $5\ cm$

b) Xét $\triangle OAB$ cân tại $O\ \ (OA = OB = R)$ có:

$\widehat{AOB} = 180^\circ - 2\widehat{OAB}$

Xét $\triangle OAC$ cân tại $O\ \ (OA = OC = R)$ có:

$\widehat{AOC} = 180^\circ - 2\widehat{OAC}$

Ta được:

$\quad \widehat{AOB} + \widehat{AOC}$

$= (180^\circ - 2\widehat{OAB}) + (180^\circ - 2\widehat{OAC})$

$= 360^\circ - 2(\widehat{OAB} + \widehat{OAC})$

$= 360^\circ - 2\widehat{BAC}$

$= 360^\circ - 2.90^\circ$

$= 180^\circ$

$\Rightarrow B,O,C$ thẳng hàng

c) Ta có: $B,O,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow BC$ là đường kính của $(O)$

Áp dụng định lý Pytago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:

$\quad BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC=  \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2}$

$\Rightarrow BC = 26\ cm$