a) $D$ là trung điểm của $AB$

$E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow DE\parallel BC$

$AH\bot BC$

$\Rightarrow AH\bot DE$ (1)

Gọi $I=AH\cap DE$

Do $DE\parallel BH$

$D$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow DI$ là đường trung bình $\Delta ABH$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AH$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DE$ là đường trung trực của $AH$.

b) $KE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\Rightarrow KE\parallel =\dfrac{1}{2}AB=AD$ (3)

$\Delta ADH$ có $DI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

Suy ra $\Delta ADH$ là tam giác cân đỉnh $D$

$\Rightarrow DA=DH$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $DH=KE$

$DEKH$ có $DE\parallel HK$

$\Rightarrow DEKH$ là hình thang có $DH=KE$

$\Rightarrow DEKH$ là hình thang cân.