$\\$

`1,`

`AH\bot BC` (gt) hay `AD\bot BE`

`D` đối xứng `A` qua `H` (gt) tức `H` là trung điểm của `AD`

`E` đối xứng `B` qua `H` (gt) tức `H` là trung điểm của `BE`

Tứ giác `ABDE` có :

`H` là trung điểm của `AD,BE` (cmt)

`<=>ABDE` là hình bình hành mà `AD\bot BE` (cmt)

`<=>ABDE` là hình thoi

`2,`

`ABDE` là hình thoi (cmt)

`=>` $AB//DE$ hay $AB//DF$ mà `AB\bot AC` (gt)

`=>DF\bot AC`

`\triangle ACD` có :

`CH` là đường cao (gt) và `DF` là đường cao (gt)

`E` là giao của `CH` và `DF`

`=>E` là trực tâm của `\triangle ACD`

`3,`

`\triangle AFD` vuông tại `F` có : `FH` là đường trung tuyến (gt)

`=>FH=1/2 AD` mà `DH=1/2 AD` (gt)

`=>FH=DF`

`=>\triangle FHD` cân tại `H`

`=>hat{HFE}=hat{HDE}`

`\triangle EFC` vuông tại `F` có `FI` là đường trung tuyến (gt)

`=>FI=1/2 EC` mà `EI=1/2 EC` (gt)

`=>EI=FI`

`=>\triangle EIF` cân tại `I`

`=>hat{IFE}=hat{IEF}` 

`=>hat{IFE}=hat{DEH}`

`hat{HDE}+hat{DEH}=90^o` (gt)

`=>hat{HFE}+hat{IFE}=90^o`

`=>hat{HFI}=90^o`

`=>FH\bot FI`

$\text{1. }$ $\left \{ {{AD⊥BE} \atop {AH=HD;BH=HE}} \right.$ 

$\rightarrow$ $\text{AD và BE vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.}$

$\rightarrow$ $\text{ABDE là hình thoi (đpcm)}$

$\text{2. }$ $\text{AB // DE; DE ⊥ AC; CH ⊥ AD}$ 

$\rightarrow$ $\text{E là trực tâm của ΔADC.(đpcm)}$

$\text{3. }$ $\text{AHEF có}$ $\widehat{AHE}=$ $\widehat{AFE}=$ $90^o$

$\Rightarrow$ $\text{AHEF nội tiếp một đường tròn.}$

$\Rightarrow$ $\widehat{HEA}=$ $\widehat{HFA}$

$\text{Mà ABDE là hình thoi}$

$\Rightarrow$ $\widehat{AEH}=$ $\widehat{ABH}$ 

$\Rightarrow$ $\widehat{HFA}=$ $\widehat{ABC}$ $\text{(1)}$

$\text{ΔEFC vuông tại F có EI = IC}$

$\Rightarrow$ $\text{FI = EI = IC}$

$\Rightarrow$ $\text{ΔFIC cân tại I}$

$\Rightarrow$ $\widehat{IFC}=$ $\widehat{ICF}$ $\text{(2)}$

$\widehat{ABC}+$ $\widehat{ICF}=$ $90^o$ $\text{(Do ΔABC vuông tại A)  (3)}$

$\textit{Từ (1) và (2) và (3) suy ra:}$

$\widehat{HFA} +$$\widehat{IFC}=$ $90^o$

$\Rightarrow$ $\widehat{HFI}=$ $90^o$

$\Rightarrow$ $\text{HF ⊥ FI (đpcm)}$