Giải chi tiết

$a)$ Ta có: $AB = AC$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.

Lại có $AO$ là tia phân giác của $\widehat{A}$ nên $AO ⊥ BC$(trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $AO$ và $BC.$ Suy ra $BI = IC$ (đường kính vuông góc với một dây).

Xét $ΔCBD$ có :

$CI = IB$

$CO = OD$ (bán kính)

$⇒ BD//OI (OI$ là đường trung bình của $ΔBCD).$

Vậy $BD//AO.$

$c)$ Theo định lí Pitago trong tam giác vuông $OAC:$

$AC^2 = OA^2 – OC^2 = 4^2 – 2^2 = 12$

$⇒ AC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} (cm)$

Và $Sin\widehat{OAC} = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} ⇒ \widehat{OAC} = 30^o$

Do đó $\widehat{BAC} = 2\widehat{OAC} = 60^o$

$ΔABC$ cân, ta có: $\widehat{A} = 60^o$ nên $ΔABC$ là tam giác đều

Do đó $AB = BC = AC = 2\sqrt{3} (cm).$