Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AP,AQ$ là tiếp tuyến của (O) $\to AP\perp OP, AQ\perp OQ\to A,P,O,Q$ cùng thuộc đường tròn đường kính AO

b.Ta có $AQ//PM,PA$ là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{KAN}=\widehat{NMP}=\widehat{APN}\to\Delta AKN\sim\Delta PKA(g.g)$

$\to\dfrac{AK}{PK}=\dfrac{KN}{KA}\to KA^2=KN.KP$

c.Ta có $PM//AQ\to OQ\perp PM(AQ\perp OQ)\to S$ là điểm chính giữa cung PM
$\to NS$ là phân giác $\widehat{PNM}$

d.Gọi $AC\cap PM=C$

Ta có $KQ$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{KQN}=\widehat{KPQ}\to\Delta KQN\sim\Delta KPQ(g.g)$

$\to\dfrac{KQ}{KN}=\dfrac{KP}{KQ}\to KQ^2=KN.KP\to KQ^2=KA^2$

$\to KA=KQ$

Mà $PC//AQ\to \widehat{PCA}=\widehat{CAQ}=\widehat{PAC}\to PC=PA\to PC=PA=AQ$

$\to APCQ$ là hình thoi

$\to QC\cap PQ=D$ là trung điểm mỗi đường

Ta có $PA\perp PO, PD\perp OA\to OP^2=OD.OA\to OD=\dfrac{R}{3}\to AD=\dfrac{8}{3}R\to AC=\dfrac{16}{3}R$

$\to\dfrac{AG}{GC}=\dfrac{AK}{PC}=\dfrac{1}{2}\to\dfrac{AG}{AG+GC}=\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{1}{3}$

$\to AG=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{16}{9}R$