Đáp án:

$A.\ R = \dfrac{a\sqrt7}{2}$

Giải thích các bước giải:

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $C$ có $\widehat{BAC} = 30^\circ$

$\Rightarrow AC = \dfrac{BC}{\tan\widehat{BAC}} = a\sqrt3$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AC\\SA\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAC)$

$\Rightarrow BC\perp SC$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\SC\perp BC\\SC\subset (SBC)\\AC\perp BC\\AC\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SCA} = 45^\circ$

$\Rightarrow \begin{cases}SA = AC.\tan45^\circ = a\sqrt3\\SC = \dfrac{AC}{\cos45^\circ} = a\sqrt6\end{cases}$

Áp dụng định lí Pytag ta được:

$\quad SB^2 = SC^2 + BC^2$

$\Rightarrow SB = \sqrt{SC^2 + BC^2} = \sqrt{6a^2 + a^2}$

$\Rightarrow SB = a\sqrt7$

Gọi $I$ là trung điểm SB$

Xét $\triangle SBC$ vuông tại $C\ (BC\perp SC)$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SB$

$\Rightarrow IS = IB = IC = \dfrac12SB$

Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SB$

$\Rightarrow IS = IB = IA = \dfrac12SB$

Do đó $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bán kính $R = \dfrac12SB = \dfrac{a\sqrt7}{2}$