Lời giải:

a) Ta có:

$AD = AH = R$

$DB = BH$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HD$

$\Rightarrow AB$ là phân giác của $\widehat{HAD}$

$\Rightarrow \widehat{HAD} = 2\widehat{HAB}$

Tương tự, ta được: $\widehat{HAE} = 2\widehat{HAC}$

$\Rightarrow \widehat{HAD} + \widehat{HAE} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) = 2\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{HAD} + \widehat{HAE} =180^\circ$

$\Rightarrow D,A,E$ thẳng hàng

b) Ta có:

$BD\perp DE$

$CE\perp DE$

$\Rightarrow BCED$ là hình thang vuông

Gọi $O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow OB = OC = OA = \dfrac12BC$

$\Rightarrow OA$ là bán kính của đường tròn đường kính $BC\qquad (1)$

Xét hình thang vuông $BCED$ có:

$AD = AE = R$

$OB = OC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình

$\Rightarrow OE//BD//CE$

$\Rightarrow OE\perp DE\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow DE$ tiếp xúc đường tròn đường kính $BC$