Đáp án:

a) Xét ΔABH và ΔACH vuông tại H có:

+ BA = CA

+ góc ABH = góc ACH (do ΔABC cân tại A)

=> ΔABH = ΔACH

b) Do ΔABH = ΔACH nên góc BAH = góc CAH

Xét ΔAHM và ΔAHN vuông tại M và N có:

+ AH chung

+ góc HAM = góc HAN

=> ΔAHM = ΔAHN

=> AM = AN

=> ΔAMN cân tại A

c) Do ΔABC và ΔAMN cân tại A nên 4 góc M,N,B,C bằng nhau

=> MN // BC 

d) 

$\begin{array}{l}
\widehat {BAC} = {120^0}\\
 \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {AMN} = \widehat {ANM} = \frac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\\
 \Rightarrow \widehat {HMN} = {90^0} - \widehat {AMN} = {60^0}
\end{array}$

Mà tam giác HMN cân tại H (HM=HN)

=> tam giác HMN đều

e) Theo định lý Pytago cho các tam giác vuông AMH tại M và BMH tại M có:

$\begin{array}{l}
A{H^2} = A{M^2} + M{H^2}\\
 \Rightarrow A{H^2} + B{M^2} = A{M^2} + M{H^2} + B{M^2}\\
 = A{N^2} + \left( {M{H^2} + B{M^2}} \right)\left( {Do:AM = AN} \right)\\
 = A{N^2} + B{H^2}\\
Vậy\,A{H^2} + B{M^2} = A{N^2} + B{H^2}
\end{array}$