Giả thiết:

\(\Delta ABC\) cân tại A, AB>BC,

H là trung điểm của BC nên HB=HC (H \(\in \) BC),

tia phân giác \(\widehat{B} \) là BI, BI \(\cap AH=I\),  

đường thẳng qua A và // BC,

\(CI \cap \text{ đường thẳng }=N, BI \cap \text{ đường thẳng }=M\),

IE \(\perp\) AB, IF \(\perp\) AC

Kết luận:

a) \(\Delta ABH\) = \(\Delta ACH,AH\bot BC\) 

b) Độ dài AH

c) \(\Delta CIB\) cân,

d) A là trung điểm của MN

e) IE=IF=IH

f) $IC\bot CM$

Lời giải:

a. Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

AH cạnh chung

AB=AC (do $\Delta ABC$ cân đỉnh A)

HB=HC (do H là trung điểm cạnh BC)

Vậy \(\Delta ABH\) = \(\Delta ACH\) (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}$ (hai góc tương ứng)

Mà chúng ở vị trí kề bù nên $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^o$

$\Rightarrow \widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o$

$\Rightarrow AH\bot BC$

b. HB=HC=\(\dfrac{BC}{2}=\dfrac{4}{2}=2\) cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta AHB$ có:

\(AH^{2}=AB^{2}-HB^{2}=6^{2}-2^{2}=32\Rightarrow AH=4\sqrt2\) cm

c. Xét hai tam giác vuông \(\Delta IHB\) và \(\Delta IHC\) có:

IH cạnh chung

HB=HC (giả thiết)

Nên \(\Delta IHB\) = \(\Delta IHC\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra IB=IC (hai cạnh tương ứng) suy ra \(\Delta IBC\) cân đỉnh I.

d. AH vuông góc BC mà MN//BC nên AH vuông góc MN

$\Rightarrow\widehat{IAN}=\widehat{IAM}=90^o$

Do $\widehat{AIN}=\widehat{HIC}$ đối đỉnh,

$\widehat{HIC}=\widehat{HIB}$ (hai góc tương ứng do $\Delta IHB=\Delta IHC$ cmt)

$\widehat{HIB}=\widehat{AIM}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{AIN}=\widehat{AIM}$

Xét hai tam giác vuông \(\Delta AIM\) và \(\Delta AIN\) có:

\(\widehat{AIN}=\widehat{AIM}\) (cmt)

AI cạnh chung 

$\widehat{IAN}=\widehat{IAM}=90^o$

Vậy \(\Delta AIM\) = \(\Delta AIN\) (g.c.g)

suy ra AN=AM (hai cạnh tương ứng)

suy ra A là trung điểm MN

e. Ta có $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\Delta IHB=\Delta IHC(cmt)\widehat{IBH}=\widehat{ICH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{IBH}=\widehat{ACB}-\widehat{ICH}$

Hay $\widehat{ABI}=\widehat{ACI}$

$\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{IBH}=\widehat{ICH}=\widehat{ACI}$

$\Rightarrow CI$ là phân giác $\widehat C$

Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và góc C nên IE=IF=IH

f. Ta có $MN//BC\Rightarrow\widehat{N}=\widehat{C_2}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\widehat{C_2}=\widehat{C_1}$ (chứng minh ở câu e)

$\Rightarrow\widehat{N}=\widehat{C_1}\Rightarrow\Delta ANC$ cân đỉnh A

$\Rightarrow AN=AC=AM\Rightarrow\Delta AMC$ cân đỉnh A

$\Rightarrow\widehat{M}=\widehat{C_3}$

$\Rightarrow\widehat N+\widehat M=\widehat {C_1}+\widehat{C_3}=\widehat{NCM}$

Theo tính chất tổng 3 góc trong 1 tam giác thì $\Delta NCM$ có:

$\widehat{N}+\widehat{M}+\widehat{NCM}=180^o$ $($ mà $\widehat N+\widehat M=\widehat{NCM})$

$\Rightarrow\widehat{NCM}+\widehat{NCM}=180^o$

$\Rightarrow  \widehat{NCM}=90^o$

$\Rightarrow CN\bot CM$ hay $IC\bot CM$.