a) $M$ là trung điểm của $BC$

$NM\parallel AC(\bot AB)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN\parallel=\dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow AC=2MN$

b) $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow N$ là trung điểm của $AB$ (1)

$MP\parallel AB(\bot AC)$

$M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của $AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $NP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow NP\parallel=\dfrac{1}{2}BC=BM$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

$\Rightarrow BMPN$ là hình bình hành

c) Tứ giác $ANMP$ là hình chữ nhật ($\widehat A=\widehat N=\widehat P$)

$F=AM\cap NP$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AM$

$E$ là trung điểm của $BM$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABM$

$\Rightarrow ABEF$ là hình thang (3)

$\Delta ABM$ có $MN$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta ABM$ cân đỉnh $M$

$\Rightarrow MA=MB$

$\Rightarrow BE=AF(=\dfrac{1}{2}BM)=\dfrac{1}{2}AM$ (4)

Từ (3) và (4)

Suy ra $ABEF$ là hình thang cân.