$\underline{\text{A - ADCH LÀ HÌNH CHỮ NHẬT}}$

+ Có: `D` đối xứng với `H` qua `I` (gt) `=>` `I` là trung điểm `HD` (đ/n)

          `AH` là đường cao (gt) `=>` AH ⊥ BC tại `H` 

+ Xét tứ giác `ADCH ` có:

$\left.\begin{matrix} \text{I là trung điểm AC (gt)}\\\text{I là trung điểm DH (gt)}\\ \text{AC ∩ DH tại I} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ADCH là hình bình hành (DHNB)}$

mà $\widehat{AHC} = 90^o$ (AH ⊥ BC - cmt)

⇒ ADCH là hình chữ nhật (DHNB).

$\\$

$\underline{\text{B - ADHB LÀ HÌNH BÌNH HÀNH}}$

+ Xét `ΔABC` cân tại `A` (gt) có: `AH` là đường cao (gt)

⇒ `AH` là đường trung tuyến (t/c Δ cân)

⇒ H là trung điểm $BC$

⇒ `BH = HC`

+ Có: `ADHC` là hình chữ nhật (cmt)

$⇒\begin{cases} \text{AD // HC (t/c) hay AD // BC (H ∈ BC)}\\\text{AD = HC (t/c) mà HC = BH (cmt) ⇒ AD = HC = BH }\\ \end{cases}$

+ Xét tứ giác `ADHB` có:

$\left.\begin{matrix} \text{AD = HB (cmt)}\\\text{AD // HB (hay AD // BC - cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ ADHB là hình bình hành (DHNB)}$

$\\$

$\underline{\text{C - A ĐỐI XỨNG VỚI H QUA ĐƯỜNG THẲNG EI}}$

Gọi `O` là giao điểm `AH` và `EI`

+ Xét ΔACB có:

$\left.\begin{matrix} \text{I là trung điểm AC (gt)}\\\text{H là trung điểm BC (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ IH là đường TB của ΔABC (đ/n)}$

$⇒\begin{cases} \text{IH // AB (t/c) hay IH // AE (E ∈ AB)}\\\text{ IH = $\dfrac{1}{2}AB$ (t/c) mà AE = $\dfrac{1}{2}AB$ (E là t.điểm AB - gt) ⇒ IH = AE }\\ \end{cases}$

 + Xét tứ giác `AIHE` có:

$\left.\begin{matrix} \text{AE // IH (cmt)}\\\text{AE = IH (cmt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AIHE là hình bình hành (DHNB)}$

+ Xét hình bình hành `AIHE` có: `O` là giao điểm của `2 ` đường chéo `AH` và `EI` (cách vẽ)

⇒ `O` là trung điểm của AH (t/c)

⇒ `A` đối xứng với `H` qua O (đ/n)

hay `A` đối xứng với `H` qua `EI` (do `O` ∈ `EI` - cv)