Giải thích các bước giải:

a.Ta có $MD//AC, ME//AB\to ADME$ là hình bình hành

Mà $\hat A=90^o$

$\to ADME$ là hình chữ nhật

$\to AM=DE$

b.Xét $\Delta AHB,\Delta AHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}(=90^o)$

$\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to\Delta HAB\sim\Delta HCA(g.g)$

$\to\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to HA^2=HB\cdot HC$

c.Gọi $AM\cap DE=F$

Vì $ADME$ là hình chữ nhật

$\to F$ là trung điểm $AM, DE$ và $FA=FD=FM=FE=\dfrac12AM=\dfrac12DE$
Ta có $F$ là trung điểm $AM, \Delta AHM$ vuông tại $H$

$\to FH=FA=FM=\dfrac12AM$

$\to FH=FD=FE=\dfrac12DE$

$\to\Delta HDE$ vuông tại $H$

$\to \widehat{DHE}=90^o$

d.Để $HMED$ là hình thang cân

$\to DE//BC, DM=HE$

Để $DE//BC$

$\to\widehat{ACM}=\widehat{AED}=\widehat{MAE}$ vì $ADME$ là hình chữ nhật

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$

$\to MA=MC$

Tương tự $MB=MA$

$\to M$ là trung điểm $BC$

Khi đó do $ME\perp AC\to ME//AB\to E$ là trung điểm $AC$

Tương tự $D$ là trung điểm $BC$

Ta có $\Delta AHC$ vuông tại $H, E$ là trung điểm $AC$

$\to EH=EA=EC=\dfrac12AC$

Lại có $ADME$ là hình chữ nhật

$\to DM=AE=HE$

$\to DEMH$ là hình thang cân

$\to M$ là trung điểm $BC$ thỏa mãn đề