Bài 1 Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, do đó MN // AC. CMTT ta có EF // AC. Vậy MN // EF (//AC). Tương tự, do M, F lần lượt là trung điểm của AB, DA nên MF là đường trung bình của tam giác ABD, do đó MF // BD. CMTT ta có NE // BD. Vậy MF // NE (//BD). Xét tứ giác MNEF có MN // EF, MF// NE nên tứ giác này là hình bình hành. Bài 2 Gọi K là giao điểm của CD và BM. Do $AM \perp BD$ và H là trung điểm AM, do đó BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ADM. Vậy tam giác ADM cân tại D, do đó AD = DM. Mặt khác, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC. Vậy DM = BC (= AD). Do $AM \perp BD$ và H là trung điểm AM, do đó BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABM. Vậy tam giác ABM cân tại B và BH là phân giác $\widehat{MBA}$. Vậy $\widehat{MBH} = \widehat{HBA}$ Lại có AB // CD nên $\widehat{HBA} = \widehat{BDC}$ (2 góc so le trong) Vậy $\widehat{MBH} = \widehat{BDC}$. Vậy tam giác KBD cân tại K và theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác ta có $\widehat{BKD} + \widehat{KBD} + \widehat{KDB} = 180$ $ \widehat{BKD} + 2\widehat{KBD} = 180$ $ \widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{BKD}}{2}$ Lại có $\widehat{BKD} = \widehat{CKM}$ (2 góc đối đỉnh) nên $\widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$. Do tam giác ABM cân tại B nên BM = BA. Lại có tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD. Vậy CD = BM. Xét tam giác BCM và DCM có $\begin{cases} BM = CD\\ CB = MD CM chung \end{cases}$ Vậy tam giác BCM = tam giác DCM, do đó $\widehat{BMC} = \widehat{DCM}$ Vậy tam giác KCM cân tại K. Áp dụng tính chất tổng 3 góc trong tam giác ta có $\widehat{KCM} + \widehat{KMC} + \widehat{CKM} = 180$ $ 2\widehat{KMC} + \widehat{CKM} = 180$ $ \widehat{KMC} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$ Lại có $\widehat{KBD} = \dfrac{180 - \widehat{CKM}}{2}$ Vậy $\widehat{KBD} = \widehat{KMC}$. Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên MC // DC. Vậy tứ giác CMDB là hình thang. Lại có CB = MD. Vậy tứ giác CMDC là hình thang cân.