$\\$

Bài `3.`

`a,`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AM` là đường trung tuyến

`=>AM` là đường cao, đường phân giác hay `AM\bot BC`

`\triangle AMB` vuông tại `M` có : `MP` là đường trung tuyến (gt)

`=>MP=1/2 AB` mà `AP=1/2 AB` (gt)

`=>MP=AB`

`\triangle AMC` vuông tại `M` có : `MQ` là đường trung tuyến (gt)

`=>MQ=1/2 AC` mà `AQ=1/2 AC` (gt)

`=>AQ=MQ`

`AP=1/2 AB, AQ=1/2 AC` (gt) mà `AB=AC` (gt)

`=>AP=AQ`

`=> AQ=MQ=AP=MP`

`=>APMQ` là hình thoi

`b,`

`K` đối xứng `M` qua `Q` (gt) hay `Q` là trung điểm của `MK`

Tứ giác `AMCK` có : 

`Q` là trung điểm của `AC,MK` (gt, cmt)

`<=>AMCK` là hình bình hành

Mà `hat{AMC}=90^o(AM\bot BC)`

`<=>AMCK` là hình chữ nhật

`c,`

`AMCK` là hình vuông

`=>hat{MAK}=90^o` và `AC` là tia phân giác của `hat{MAK}`

`=>hat{CAM}=1/2 hat{MAC}=45^o`

`=>hat{BAM}=45^o` mà `hat{BAC}=hat{CAM}+hat{BAM}`

`=>hat{BAC}=90^o`

`=>\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `AMCK` là hình vuông

Bài `4.`

Để `P` nguyên

`=>n^3-n^2+2n+7\vdots n^2+1`

`=> n^3 - n^2 + n -1 + n + 8\vdots n^2+1`

`=> n^2(n-1)+(n-1) + n + 8\vdots n^2+1`

`=> (n^2+1)(n-1)+n+8\vdots n^2+1`

`=> n+8\vdots n^2+1`

`=> (n+8)(n-8)\vdots n^2+1`

`=> n^2 +1 - 65\vdots n^2+1`

`=> 65\in n^2 + 1`

`=> n^2+1\in Ư (65)={1;-1;5;-5; 13;-13;65;-65}`

Do `n^2\ge 0 => n^2+1\ge 1 > 0`

`=> n^2+1\in {1;5;13;65}`

$\bullet$ `n^2+1=1`

`=>n^2=0`

`=>n=0` (T/m)

$\bullet$ `n^2+1=5`

`=> n^2=4`

`=>n=±2` (T/m)

$\bullet$ `n^2+1=13`

`=> n^2=12` (Loại)

$\bullet$ `n^2+1=65`

`=> n^2=64`

`=>n=±8` (T/m)

Vậy `n\in {0;2;-2;8;-8}` để `P` nguyên

 

~ gửi bạn ~

Giải thích các bước giải:

Bài `3.`

`a)`

Xét `\triangle ABC` có: `P` là trung điểm `AB`

                                    `M` là trung điểm `AC`

`=> PM` là đường trung bình `\triangle ABC`

`=> PM = 1/2 AC`

mà `AQ = OC = 1/2AC`

`=> AQ = QM` `(1)`

Cmtt `-> MQ = AP` `(2)`

Có: `\triangle ABC` cân tại `A` 

`=> AB = AC`

`=> 1/2AB = 1/2AC`

`=> AQ = AP` `(3)`

`(1)(2)(3) -> AP = AQ = PM = MQ`

`=>` Tứ giác `APMQ` là hình thoi

`b)`

Có: `\triangle ABC` cân tại `A` mà `AM` là đường trung tuyến

`=> AM ⊥ BC`

`=> hat(AMC) = 90^0`

Xét tứ giác `AMCK` có: `Q` là trung điểm `AC`

                                     `Q` là trung điểm `MK` `(K` đối xứng với `M` qua `Q)`

mà: `AC ∩ MK = {Q}`

`=>` Tứ giác `AMCK` là hình bình hành

mà: `hat(AMC) = 90^0`

`=>` Tứ giác `AMCK` là hình chữ nhật

`c)`

Gỉa sử `AMCK` là hình vuông

mà: tứ giác `AMCK` là hình chữ nhật

`<=> AC` là tia phân giác `hat(MAK)`

mà:  `hat(MAK) = 90^0`

`<=> hat(MAC) = hat(CAK) = 45^0`

Có: `\triangle ABC` cân tại `A` mà `AM` là đường trung tuyến

`=> AM` là phân giác `hat(BAC)`

`<=> hat(MAC) = 1/2 hat(BAC)`

`=> hat(BAC) = 90^0`      

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` thì`AMCK` là hình vuông

------------------

Bài `4.`

`[n^3−n^2+2n+7]/{n^2+1}`

`=[(n^3+n)−(n^2+1)+n+8]/[n^2+1]`

`=[n(n^2+1)−(n^2+1)+n+8]/[n^2+1]`

`= n−1+[n+8]/[n^2+1]`

`n + 8` `\vdots` `n^2 + 1`

`=> (n + 8).(n - 8)` `\vdots` `n^2 + 1`

`=> n^2- 64` `\vdots` `n^2 + 1`

`=> n^2 + 1 - 65` `\vdots` `n^2 + 1`

`=> 65` `\vdots` `n^2 + 1`

`=> n^2 + 1 ∈ Ư(65) = {1, 5 , 13, 65}`

`=> n ∈ {0, ± 2, ± 8}`

Vậy `n ∈ {0, ± 2, ± 8}`