a) Xét $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}AM = MB =\dfrac12AB\\BN = NC =\dfrac12BC\end{cases}$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow \begin{cases}MN//AC\\MN=\dfrac12AC = 5\ cm\end{cases}$

Tương tự ta được:

$NP$ là đường trung bình của $\triangle BCD$

$\Rightarrow \begin{cases}NP//BD\\NP=\dfrac12BD = 4\ cm\end{cases}$

$PQ$ là đường trung bình của $\triangle ACD$

$\Rightarrow \begin{cases}PQ//AC\\PQ=\dfrac12AC = 5\ cm\end{cases}$

$MQ$ là đường trung bình của $\triangle ABD$

$\Rightarrow \begin{cases}MQ//BD\\MQ=\dfrac12BD = 4\ cm\end{cases}$

Do đó:

$\begin{cases}MN//PQ\ \ (//AC)\\NP//MQ\ \ (//BD)\end{cases}$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành

b) Ta có:

$\begin{cases}MN//AC\\NP//BD\\AC\perp BD\end{cases}$

$\Rightarrow MN\perp NP$

$\Rightarrow \widehat{MNP}= 90^\circ$

Do đó $MNPQ$ là hinhg chữ nhật

c) Diện tích hình chữ nhật $MNPQ:$

$S = MN.NP = 5.4 = 20\ (cm^2)$

a/

Xét `\triangle ABC` có :

$\\$
`M` là trung điểm của `AB` (gt)

$\\$
`N` là trung điểm của `BC` (gt)

$\\$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình ứng với cạnh `AC` (đ/n)

$\\$

$\Rightarrow MN \parallel AC$ (t/c) `\quad (1)`
$\\$

Chứng minh tương tự ta cũng được :

$\\$

$QP \parallel AC$ ( `QP` là đường trung bình của `\triangle ADC` ứng với cạnh `AC`) `\quad (2)`

$\\$
Từ `(1)` và `(2)` : $\Rightarrow MN \parallel PQ$ 

$\\$
Xét `\triangle ABD` có :

$\\$

`M` là trung điểm `AB` (gt)

$\\$ 

`Q` là trung điểm của `AD` (gt)

$\\$

`=> MQ` là đường tủng bình của `\triangle ABD` ứng với cạnh `BD`.

$\\$

$\Rightarrow MQ \parallel BD$ (t/c) `\quad (3)`

$\\$
Chứng minh tương tự :

$\\$
$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của `\triangle BCD`

$\\$

$\Rightarrow NP \parallel BD$ (t/c) `\quad(4)`

$\\$
Từ `(3)` và `(4) ` : $\Rightarrow NP \parallel MQ$ 
$\\$
Ta có : $\begin{cases} MN \parallel PQ \\ NP \parallel MQ \end{cases}$

Suy ra : `MNPQ` là hình bình hành (dhnb).

b/

$\\$

Vì `AC \bot BD => MQ \bot AC` 
$\\$
Mà $AC \parallel PQ \Rightarrow $ `MQ \bot QP`.

Suy ra : `\hat{MQP} = 90^o => ` Hình bình `MNPQ` là hình chữ nhật .

c/ 

`S_{MNPQ} = MN . NP =1/2AC  . 1/2BD= 1/2 . 10 . 1/2 . 8 = 20 (cm^2)`