$\\$

`a.`

`K` đối xứng `M` qua `I` (gt) tức `I` là trung điểm của `MK`

Tứ giác `AMCK` có :

`I` là trung điểm của `AC,MK` (cmt, gt)

`<=>AMCK` là hình bình hành 

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AM` là đường trung tuyến (gt)

`=>AM` là đường cao hay `hat{AMC}=90^o`

`AMCK` là hình bình hành (cmt)

`<=>AMCK` là hình chữ nhật

`=>` $AK//CM, AK=CM$ 

`AK=CM,BM=CM` (cmt, gt)

`=> AK=BM`

Tứ giác `AKMB` có :

$AK//BM, AK=BM$ (cmt)

`<=>AKMB` là hình bình hành

`b,`

`CM=BM=AK=1/2 BC` (gt)

`=>CM=BM=AK=1/2 . 6=3cm`

`\triangle AMB` vuông tại `M` :

`AM^2+BM^2=AB^2` (pitago)

`=>AM^2=AB^2-BM^2=5^2-3^2=4^2`

`=>AM=4cm`

`S_{AMCK}=AK . AM = 3 . 4=12(cm^2)`

`c.`

`AMCK` là hình vuông

`=>AC` là tia phân giác `hat{MAK}` và `hat{MAK}=90^o`

`=>hat{CAM}=1/2 hat{MAK}=1/2 . 90^o = 45^o`

`\triangle ABC` cân tại `A` có `AM` là đường trung tuyến (gt)

`=>AM` là đường phân giác

`=>hat{CAM}=1/2hat{BAC}=>45^o=1/2hat{BAC}`

`=>hat{BAC}=90^o`

`=>\triangle ABC` vuông cân tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông cân tại `A` để `AMCK` là hình vuông

a/

Xét tứ giác `AMCK` có :

$\\$

$IA = IC$ (gt)

$\\$

`MI = IK` ( `K` đối xứng với `M` qua `I` )
$\\$
`=> AMCK` là hình bình hành (dhnb). `\quad (1)`

$\\$
Ta có : `\triangle ABC ` cân tại `A` có : `AM` là đương trung tuyến ứng với `BC`.

$\\$

`=> AM` là đường cao của `\triangle ABC` ứng với `BC`.

$\\$

`=> AM \bot MC ` `\quad (2)`

Từ `(1)` và `(2) => AMCK` là hình chữ nhật.

 Vì `AMCK` là hình chữ nhật `=> AK = MC` và $AK \parallel MC$ (t/c)

Mà `MC = MB` và `B \in MC` . Suy ra : `AK = MB` và $AK \parallel MB$ .

$\\$

`=> AKMB` là hình bình hành (dhnb). 

b/

$\\$
`S_{AMCK} = AM . MC`

$\\$

Từ `BC = 6cm => MC = MB = 1/2BC = 1/2 . 6 =3cm`
$\\$
Áp dụng ĐL Py-ta-go cho `\triangle AMB ` vuông tại `M` :

$\\$

`AM^2 +MB^2 = AB^2`

$\\$

`=> AM^2 + 3^2 = 5^2 => AM =4cm`.

$\\$
Khi đó : `S_{AMCK} =AK . MC =3 . 4 = 12cm^2`.

c/

Để `AMCK` là hình vuông : Mà `AMCK` đã là hình chữ nhật 

$\\$

`<=> AM = MC =1/2BC`

$\\$
Tức đường trung tuyến `AM` ứng với `BC` mà `AM =1/2BC`

$\\$

`<=> \triangle ABC` vuông tại `A`. 

Vậy `\triangle ABC` là `\triangle` vuông cân tại `A <=> AMCK` là hình vuông.