`a)`

Tứ giác `AEFD, AECF` là hình bình hành

+)Vì tứ giác `AEFD` có `AE////FD,AE=FD` ( `1` cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên tứ giác `AEFD` là hình bình hành

+)Vì tứ giác `AECF` có `AE////FC,AE=FC` ( `1` cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên tứ giác `AECF` là hình bình hành

*Chứng minh:

Xét hình bình hành `ABCD` có:

+)`AB=CD`

mà `E` là trung điểm của `AB, F` là trung điểm của `CD`

`⇒AE=EB=FD=FC`

+)`AB////CD` 

`⇒AE////FC, AE////DF,EB////FC`

Xét tứ giác `AEFD` có:

`AE////FD` `(cmt)`

`AE=FD` `(cmt)`

`⇒AEFD` là hình bình hành `(dh3)`

Xét tứ giác `AECF` có:

`AE=FC` `(cmt)`

`AE////FC` `(cmt)`

`⇒AECF` là hình bình hành `(dh3)`

`b)`

Xét tứ giác `EBCF` có:

`EB////FC` `(cmt)`

`EB=FC`  `(cmt)`

`⇒` Tứ giác `EBCF` là hình bình hành `(dh3)`

Xét tứ giác `AECF` có:

+)`AF////EC`

`⇒MF////EN ` `(1)`

+)`AF=EC`

mà `M` là trung điểm `AF`( do `AEFD` là hình bình hành)

`N` là trung điểm `EC` ( do `EBCF` là hình bình hành)

`⇒EN=NC=MA=MF` hay `EN=MF` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `⇒EMFN` là hình bình hành `(dh3)` (*)

Ta có:

`AB=2AD` (gt)

mà `E` là trung điểm `AB` 

`⇒EA=AD`

`⇒`hình bình hành `AEFD` là hình thoi `(dh2)`

`⇒AF⊥DE`

`⇒hat{FME}` là góc vuông (**)

Từ (*) và (**) `⇒EMFN` là hình chữ nhật `(dh3)` 

`c)` Hbh `ABCD` cần có thêm điều kiện:  hbn `ABCD` có `1` góc vuông, hay hbh`ABCD` là hình chữ nhật thì `EMFN` là hình vuông