Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) `\triangleBDC` vuông tại `D` có `DO` là trung tuyến

`=>DO=OB=OC=(BC)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(1)`

`\triangleBEC` vuông tại `E` có `EO` là trung tuyến

`=>EO=OB=OC=(BC)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy được: `DO=EO=OB=OC` `(=(BC)/(2))`

`=>`Bốn điểm `B,C,D,E` cùng thuộc đường tròn tâm `O` bán kính `(BC)/2` `(đpcm)`

b) `\triangleAEH` vuông tại `E` có `IE` là trung tuyến 

`=>IE=IH=IA=(AH)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác giác vuông`)` `(3)`

`\triangleADH` vuông tại `D` có `ID` là trung tuyến

`=>ID=IH=IA=(AH)/2` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `IE=ID=IH=IA` `(=(AH)/(2))`

`=>`Bốn điểm `A,E,H,D` cùng thuộc đường tròn tâm `I` bán kính `(AH)/2`

Ta có:

`IE=ID=(AH)/2` `(cmt)` 

`=>I` thuộc đường trung trực của `DE` `(5)`

`ED=EO=(BC)/2` `(cmt)`

`=>O` thuộc đường trung trực của `DE` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)` ta suy được: `IO` là đường trung trực của `DE` `(đpcm)`

c) Ta có:

`ID=IA=(AH)/2` `(cmt)`

`=>\triangleIAD` cân tại `I`

`=>\hat{IAD}=\hat{IDA}` `(`tính chất tam giác cân`)` `(a)`

Lại có:

`DO=OC=(BC)/2` `(cmt)`

`=>\triangleOCD` cân tại `O`

`=>\hat{OCD}=\hat{ODC}` `(`tính chất tam giác cân`)` `(b)`

Mặt khác:

`H` là giao điểm của hai đường cao `BD` và `CE`

`=>H` là trực tâm của `\triangleABC`

`=>AH\botBC` tại `F`

`=>\triangleAFC` vuông tại `F`

`=>\hat{FAC}+\hat{FCA}=90^0` `(`hai góc phụ nhau`)`

Hay `\hat{IAD}+\hat{OCD}=90^0` `(c)`

Từ `(a),(b)` và `(c)` ta suy được: `\hat{ODI}=90^0`

`=>DO\botID`

`=>ID` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` đường kính `BC` `(đpcm)`