Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) xét ΔAHBΔAHB và ΔAHCΔAHC có:

H1ˆ=H2ˆ=90oH1^=H2^=90o

AH chung

Bˆ=CˆB^=C^ (ΔABCΔABC cân tại A)

=> ΔABH=ΔAHC(CH−GN)ΔABH=ΔAHC(CH−GN)

=> A1ˆ=A2ˆA1^=A2^ (2 góc tương ứng)

b) xét ΔAHNΔAHN và ΔAHMΔAHM có:

Mˆ=Nˆ=90oM^=N^=90o

AH chung

A1ˆ=A2ˆ(cmt)A1^=A2^(cmt)

=> ΔAHN=ΔAHM(CH−CN)ΔAHN=ΔAHM(CH−CN)

=> HN = HM (2 cạnh tương ứng)

=> AN = AM (2 cạnh tương ứng)

ΔAMNΔAMN có: AN = AM (cmt)

=> ΔAMNΔAMN cân tại A

c) đặt điểm giao nhau giữa AH và MN là K

xét ΔAKMΔAKM và ΔAKNΔAKN có:

AK chung

A1ˆ=A2ˆ(cmt)A1^=A2^(cmt)

AM = AN (ΔAMNΔAMN cân tại A)

=> ΔAKM=ΔAKN(c.g.c)ΔAKM=ΔAKN(c.g.c)

=> K1ˆ=K2ˆK1^=K2^

mà 2 góc trên ở vị trí kề bù

=> K1ˆ=K2ˆ=90oK1^=K2^=90o

=> MN ⊥AH⊥AH

mà BC⊥AHBC⊥AH

=> MN // BC (tính chất)

d) áp dụng định lí Py - ta - go vào ΔAHN(Nˆ=90o)ΔAHN(N^=90o) có:

AH² = AN² + NH²

=> AH² + BM² = AN² + NH² + BM² (1)

áp dụng định lí Py - ta - go vào ΔBHM(Mˆ=90o)ΔBHM(M^=90o) có:

BH² = BM² + MH²

mà MH = NH

=> BH² = BM² + NH²

=> AN² + BH² = AN² + BM² + NH² (2)

từ 1 và 2 => AH² + BM² = AN² + BH² (đpcm)