Đáp án:

`a)`

Ta có: `BE` là đường cao

`=> BE ⊥ AC` `(dn)`

`⇒ \triangle ABE` vuông tại `E` 

`=> hat(ABE) + hat(BAC) = 90^0` `(` tính chất `\triangle` vuông `)` `(1)`

Ta có: `CF` là đường cao

`=> CF ⊥ AB` `(dn)`

`⇒ \triangle ACF` vuông tại `F` 

`=> hat(ACF) + hat(BAC) = 90^0` `(` tính chất `\triangle` vuông `)` `(2)`

`(1)(2) -> hat(ABE) = hat(ACF)`   `(3)`

Có: `BM` là phân giác của `hat(ABE)` `(`gt`)`

`=> hat(ABM) = hat(EBM) = {hat(ABE)}/2`     `(4)`

Có: `CN` là phân giác của `hat(ACF)` `(`gt`)`

`=> hat(ACN) = hat(FCN) = {hat(ACF)}/2`     `(5)`

`(3)(4)(5) -> hat(ABM) = hat(EBM) = hat(ACN) = hat(FCN)`

Xét `\triangle BIC` có:

`hat(IBC) + hat(ICB) = hat(MIC)` `(` t/c góc ngoài trong `\triangle` `)`

`=> hat(EBC) + hat(EBM) + hat(MBA) + hat(FCB) = hat(MIC)`

`=> hat(FCB) + hat(FBC) = hat(MIC)`

`=> 90^0 = hat(MIC)`

`=> BM ⊥ CN`

------------------------

`b)`

Xét `\triangle NBQ` có: 

`BM` là đường phân giác

`BM` là đường cao

`=>` `\triangle NBQ` cân

`=> BM` đồng thời là đường trung trực của `\triangle NBQ`

`=>` $\begin{cases} MN = MQ\\PN = PQ \end{cases}$ `(6)`

Xét `\triangle CMP` có: 

`CN` là đường phân giác

`CN` là đường cao

`=> CN` đồng thời là đường trung trực của `\triangle CMP`

`=> QM = QP` `(7)`

`(6)(7) -> MN = NP = MQ = PQ`

`=>` Tứ giác `MNPQ` là hình thoi

------------------------ 

`c)`    

Xét `\triangle BFC` vuông tại `F` có:

`FK` là đường trung tuyến `(KB = KC)`

`=> FK = KC` `(tc)`

Xét `\triangle BEC` vuông tại `E` có:

`EK` là đường trung tuyến `(KB = KC)`

`=> EK = KC` `(tc)`

`=> FK = EK`

Xét `\triangle AFH` vuông tại `F` có:

`GF` là đường trung tuyến `(GA = GH)`

`=> FG = GA`

Xét `\triangle AEH` vuông tại `E` có:

`GE` là đường trung tuyến `(GA = GH)`

`=> GA = GE`

`=> FG = GE`

mà: `FK = EK`

`=> KG` là đường trung trực của `EF`

`=> GK ⊥ EF`

Đấy nha em