Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ABCD$ là hình thang $\hat A=\hat D=90^o$

$\to AB//CD$

$\to AB//DM, AB//CM$

Mà $AB=\dfrac12DC, M$ là trung điểm $CD$

$\to AB=DM, AB=MC$

$\to ABMD, ABCM$ là hình bình hành

Lại có $AB=AD, \hat D=90^o$

$\to ABMD$ là hình vuông

b.Ta có $ADMD$ là hình vuông , $AM\cap DB=O\to O$ là trung điểm $MA, BD$

              $ABCM$ là hình bình hành, $AC\cap BM=E\to E$ là trung điểm $AC, BM$

Vì $O, E$ là trung điểm $BD, BM$

$\to OE$ là đường trung bình $\Delta BDM\to OE//DM$

$\to OE//DN(1)$

Ta có $E, N$ là trung điểm $AC, CM$

$\to NE$ là đường trung bình $\Delta ACM$

$\to EN//AM\to \widehat{END}=\widehat{OMD}=\widehat{ODM}=\widehat{ODN} (2)$ vì $ABMD$ là hình vuông

Từ $(1), (2)\to DOEN$ là hình thang cân

c.Ta có $\Delta ADC$ vuông tại $D, E$ là trung điểm $AC$

$\to ED=EA=EC=\dfrac12AC$

$\to \widehat{EAD}=\widehat{EDA}=\widehat{DEM}$ vì $BM//AD$

$\to \widehat{DAI}=\widehat{DEM}$

$\to \widehat{ADI}=90^o-\widehat{DAI}=90^o-\widehat{DEM}=\widehat{EMD}$

Do $ABMD$ là hình vuông

$\to DB$ là phân giác $\hat D\to \widehat{ADB}=\widehat{BDM}$

$\to \widehat{ODH}=\widehat{ADB}-\widehat{ADI}=\widehat{BDM}-\widehat{EDM}=\widehat{ODK}$

$\to DO$ là phân giác $\widehat{HDK}$

Lại có $ABMD$ là hình vuông $\to BD\perp AM\to DO\perp HK$

$\to\Delta DHK$ có đường cao đồng thời là phân giác

$\to \Delta DHK$ cân tại $D$

$\to DH=DK$