a. Có $\widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^o$ nên F, E cùng nhìn BC dưới 1 góc 90$^o$ $ \Rightarrow$ các điểm B, E, C, F thuộc đường tròn đường kính BC.

b. Xét $\Delta AFC$ và $\Delta AEB$ có:

$\widehat AFC=\widehat AEB=90^o$

$\widehat A$ chung

nên $\Delta AFC\sim \Delta AEB$ (g.g).

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AE} =\dfrac{ AC}{AB }$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AF.AB = AC.AE$ (đpcm)

c. Trong đường tròn đi qua B, E, C, F, đường tròn đường kính BC có $\widehat{FEB} = \widehat{FCB}$ (chắn cung BF)

Trong (O) có $\widehat{FCB} = \widehat{NMB}$ (chắn cung BN)

$\Rightarrow\widehat{FEB} = \widehat{NMB}$ mà chúng là hai góc ở vị trí đồng vị $\Rightarrow MN // FE$ (đpcm)

d. Đường tròn đường kính (BC) có $\widehat{FBE} = \widehat{ECF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

$\Rightarrow\widehat{ABM} = \widehat{ACN} \Rightarrow$ sđ cung AN = sđ cung AM

$ \Rightarrow\widehat{ HCE} = \widehat{MCE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau sđ cung AN = sđ cung AM)

$\Rightarrow \Delta HCM$ có $CE$ vừa là phân giác vừa là đường cao nên $\Delta HCMR$ cân tại C $\Rightarrow E$ là trung điểm $HM$.

Tương tự: $\widehat{NBF} =\widehat{ HBF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau sđ cung AN = sđ cung AM) 

nên BF là phân giác và cũng đường cao của $\Delta NBF$

nên $\Delta NBF$ cân tại B $\Rightarrow  F$ là trung điểm $NH$.

$\Rightarrow\Delta HMN$ có $ EF$ là đường trung bình $\Rightarrow\dfrac{ NM}{EF} = 2$

Tứ giác AFHE nội tiếp trong đường tròn đường kính AH (vì $\widehat{AFH} + \widehat{AEH} = 180^o$) $\Rightarrow AH >EF$ (đường kính > dây cung)

$\Rightarrow\dfrac{ MN}{AH} <\dfrac{ MN}{EF} \Rightarrow\dfrac{ MN}{AH} < 2$ (đpcm).