$a)$ Xét $ΔBEC$ và $ΔCEF$ , ta có: $BE = CF (gt)$

$\widehat{B} = \widehat{C} = 90^o$

$BC = CD (gt)$

Suy ra: $ΔBEC = ΔCFD (c.g.c) ⇒ \widehat{C_1} = \widehat{D_1}$

Lại có: $\widehat{C_1} + \widehat{C_2} = 90^o$

Suy ra: $\widehat{D_1} + \wide{C_2} = 90^o$

Trong $ΔDCM$ có $\widehat{D_1} + \widehat{C_2} = 90^o$

Suy ra: $\widehat{DCM}= 90^o$

Vậy $CE ⊥ DF$

$b)$ Gọi $K$ là trung điểm của $DC, AK$ cắt $DF$ tại $N$.

Xét tứ giác $AKCE$, ta có: $AB // CD$ hay $AE // CK$

$AE = \dfrac{1}{2} AB (gt)$

$CK = \dfrac{1}{2}CD$ (theo cách vẽ)

Suy ra: $AE // CK$ nên tứ giác $AKCE$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) $⇒ AK// CE$

$DF ⊥ CE (cmt)$

$⇒ AK ⊥ DF$ hay $AN ⊥ DM$

Xét $ΔDMC$, ta có: $DK = KC$ và $KN // CM$

$⇒ DN = MN$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

$⇒ ΔADM$ cân tại $A$ (vì có đường cao vừa là trung tuyến)

Vậy $AD = AM(đpcm)$

 

Đáp án:

Xét ΔBEC và ΔCEF , ta có: BE = CF (gt)

∠B = ∠C = 90^o

BC = CD (gt)

Suy ra: ΔBEC = ΔCFD (c.g.c) ⇒ ∠C₁ = ∠D₁

Lại có: ∠C₁ + ∠C₂ = 90^o

Suy ra: ∠D₁ + ∠C₂ = 90^o

Trong ΔDCM có ∠D₁ + ∠C₂ = 90^o

Suy ra: ∠(DCM) = 90^o

Vậy CE ⊥ DF

b. Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại N.

Xét tứ giác AKCE, ta có: AB // CD hay AE // CK

AE = 1/2 AB (gt)

CK = 1/2 CD (theo cách vẽ)

Suy ra: AE // CK nên tứ giác AKCE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ AK// CE

DF ⊥ CE (cmt)

⇒ AK ⊥ DF hay AN ⊥ DM

Xét ΔDMC, ta có: DK = KC và KN // CM

⇒ DN = MN (tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒ ΔADM cân tại A (vì có đường cao vừa là trung tuyến)

Vậy AD = AM.

                  Chúc bạn học giỏi và dạt dược kết quả như mình mong muốn.