Đáp án:

a) Tứ giác AMNQ là hình vuông

b) Tứ giác AINC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

c) Tứ giác AIBN là hình vuông

d) $\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2x}{2-x}=\dfrac{1-2x}{x-2}$

e) $\dfrac{2x^2-x}{x-1}+\dfrac{1}{x-x^2}=\dfrac{2x^x+x+1}{x}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm AB

N là trung điểm BC

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN//AC, MN=\dfrac{1}{2}AC$

Chứng minh tương tự

$\to NQ//AB, NQ=\dfrac{1}{2}AB$

Ta có:

$BA\bot AC\to MN\bot BA, NQ\bot AC$

Xét tứ giác AMNQ:

$\widehat{MAQ}=90^o(BA\bot AC)\\\widehat{NMA}=90^o(MN\bot BA)\\\widehat{NQA}=90^o(NQ\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AMNQ là hình chữ nhật (1)

Mà $MN=\dfrac{1}{2}AC, AC=AB$

$\to MN=\dfrac{1}{2}AB$

Vì $AM=\dfrac{1}{2}AB$ (gt)

$\to AM=MN$ (2)

Từ (1), (2) $\to$ Tứ giác AMNQ là hình vuông

b)

Ta có:

$MN=\dfrac{1}{2}AC$ (cmt)

$MN=\dfrac{1}{2}IN$ (I đối xứng với N qua M)

$\to AC=IN$

Vì $MN//AC$ (cmt)

$\to IN//AC$

Xét tứ giác AINC:

$IN//AC$ (cmt)

$IN=AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AINC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

c)

$\triangle ABC$ vuông cân tại A có:

AN là đường trung tuyến

$\to AN=\dfrac{1}{2}BC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

$\to AN=BN=NC$

và AN đồng thời là đường cao

$\to AN\bot BC$

Xét tứ giác AIBN:

$IM=MN$ (gt)

$BM=MA$ (gt)

$\to$ Tứ giác AIBN là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà $\widehat{ANB}=90^o(AN\bot BC)$

$\to$ Tứ giác AIBN là hình chữ nhật

Vì $AN=BN$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AIBN là hình vuông

d)

$\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2x}{2-x}\\=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{2x}{x-2}\\=\dfrac{1-2x}{x-2}$

e)

$\dfrac{2x^2-x}{x-1}+\dfrac{1}{x-x^2}\\=\dfrac{2x^2-x}{x-1}-\dfrac{1}{x^2-x}\\=\dfrac{2x^2-x}{x-1}-\dfrac{1}{x(x-1)}\\=\dfrac{x(2x^2-x)-1}{x(x-1)}\\=\dfrac{2x^3-x^2-1}{x(x-1)}\\=\dfrac{(x-1)(2x^2+x+1)}{x(x-1)}\\=\dfrac{2x^2+x+1}{x}$