$a)$ )Vì $A$ nằm chính giữa cung $BC, ME⊥AB, MF⊥AC$

$→ ME⊥EA, MF⊥FA, OM⊥OM$

$→ A,E,O,M,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AM$

$b)$ Ta có: $ME⊥AB, AO⊥BO → ΔBEM~ΔBOA(g.g)$

$→ \dfrac{BE}{BO}=\dfrac{BM}{BA}→ BE.BA=BO.BM$

$c)$ Ta có: $AK⊥OM→AK//BC$

Mà $MK//AB(⊥AC) → AKMB$ là hình bình hành

$→ BA=MK$

Lại có $ME//AF(⊥AB), MF//AE(⊥AC)→AEMF$ là hình bình hành

$→ AE=MF$

$→ BA-AE=MK-MF→ BE=KF$

$d)$ Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$

$\widehat{OMD}=\widehat{OMA}$

Vì $MN⊥EF → \widehat{EMN}=\widehat{AMF}(\widehat{MEF}=\widehat{MAF})$

$→ \widehat{NMD}=\widehat{BMD}+\widehat{BME} + \widehat{EMN}=\widehat{AMB} + \widehat{ACB} + \widehat{AMN}=\widehat{BMF}+45^o=\widehat{BMF}+\widehat{FMC}=\widehat{BMC}=180^o$

Vì  $A$ chính giữa cung $BC→ΔABC$ vuông cân tại $A,MF⊥AC→\widehat{MFC}=\widehat{MCF}=45^o$

$→M,N,D$ thẳng hàng

$→MN$ luôn đi qua điểm $D$ cố định