a) Có BH ⊥AC (gt)

⇒ ∠BHC=90

⇒ ∠HBC+∠HCB=90 (1)

/

Có: FM ⊥ BH (gt)

⇒ ∠BFM=90

⇒∠FBM+∠FMB=90 (2)

/

(1)(2) ⇒ ∠FMB= ∠HCB 

mà ∠HCB =∠DBM (ΔABC cân tại A: ab=ac)

⇒∠FMB=∠DBM 

/

Xét ΔDBM và ΔFMB 

+ ∠MDB=∠BFM (=90) 

+BM cạnh chung

+ ∠FMB=∠DBM 

⇒ΔDBM=ΔFMB (ch-gn)

/

b) Vì ΔDBM=ΔFMB (ch-gn) 

⇒ MD=BF (2 cạnh tương ứng) (*)

/

Có: BH ⊥ AC

ME ⊥ AC

⇒BH// ME 

⇒ ∠FHM= ∠HME (so le trong)

/

Xét ΔMFH và ΔHEM 

+ ∠MFH= ∠HEM (=90)

+ HM cạnh chung

+∠FHM= ∠HME (cmt)

⇒ΔMFH =ΔHEM (ch-gn)

⇒ ME= HF ( 2 canh tương ứng)(**)

/

(*)(**) ⇒MD+ME=HF+ BF= BH

mà BH không đổi

⇒ME+MD không đổi (đpcm)

/

c) Kẻ DO// AC (O ∈BC)

Gọi giao điểm của BC và DK là I

/

Có: DO// AC 

⇒∠DOB=∠ACB(so le trong)

mà ∠ACB=∠DBO (ΔABC cân tại A:ab=ac)

⇒∠DOB=∠DBO

⇒ΔBDO cân tại D (dhnb Δ cân)

⇒DB=DO (t/c Δ cân)

mà DB= FM (ΔDBM=ΔFMB)

⇒DO=FM

mà FM= HE (ΔMFH =ΔHEM)

⇒DO=HE

mà HE=CK (gt)

⇒DO=CK

/

Xét ΔDIO và ΔKIC 

+∠ODI=∠IKC(DO//AC)

+DO=CK(cmt)

+∠DOI=∠ICK(DO//AC)

⇒ΔDIO =ΔKIC (g.c.g)

⇒ ID=IK (2 cạnh tương ứng)

⇒ I là trung điểm DK 

mà I ∈ BC 

⇒ BC đi qua TĐ DK (đpcm) 

/

*Hình hơi rối. Sorry. Chúc bạn học tốt.