Giải thích các bước giải:

Ta có :

$\text{ Từ tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:} $

$\dfrac{x^2-1}{2}=\dfrac{y^2-1}{3}=\dfrac{y^2-1-(x^2-1)}{3-2}=y^2-x^2$

$\rightarrow x^2-1 \quad \vdots\quad 2\rightarrow \text{ x=2k+1}\rightarrow x^2-1\quad\vdots\quad 4\\\rightarrow \dfrac{x^2-1}{2}\quad\vdots\quad 2\\\rightarrow y^2-x^2\quad\vdots\quad2\\\rightarrow \text{y lẻ}\\\text{Lại có số chính phương lẻ chia 8 dư 1 nên kết hợp x, y lẻ }\\\rightarrow x^2-y^2\equiv 1-1\equiv 0\quad(mod\quad8)(1)$

$\text{Lại có: } \dfrac{x^2-1}{2}=\dfrac{y^2-1}{3}=\dfrac{y^2-1+(x^2-1)}{3+2}=\dfrac{x^2+y^2-2}{5}\\\rightarrow x^2-y^2=\dfrac{x^2+y^2-2}{5}\rightarrow \dfrac{x^2+y^2-2}{5}\in \quad Z$

$\text{Do số chính phương chia 5 dư 0,1,4 nên để }x^2+y^2-2\quad\vdots\quad 5\quad\\\rightarrow x^2\equiv y^2\equiv 1\quad(mod\quad 5)\rightarrow x^2-y^2\quad\vdots \quad 5(2)$

$\text{Do (5,8)=1 nên từ (1) và (2) ta suy ra }x^2-y^2\quad\vdots\quad 40\rightarrow đpcm $