a)

+) Ta có: BE,CFBE,CF là đường cao của ΔABCΔABC nên BE⊥AC,CF⊥ABBE⊥AC,CF⊥AB

⇒ˆAFH=ˆAEH=90o⇒AFH^=AEH^=90o

Tứ giác AEHFAEHF có: ˆAFH+ˆAEH=90oAFH^+AEH^=90o

mà chúng ở vị trí đối đỉnh nên AEHFAEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính (AH)(AH)

+) Ta có ˆAEB=ˆADB=90oAEB^=ADB^=90o

⇒E,D⇒E,D cùng nhìn cạnh ABAB dưới góc 90o90o nên AEDBAEDB nội tiếp đường tròn đường kính (AB)(AB)

b) Xét ΔABDΔABD và ΔAKCΔAKC có:

ˆABD=ˆAKCABD^=AKC^ (góc nội tiếp cùng chắn cung ACAC)

ˆADB=ˆACK=90oADB^=ACK^=90o

⇒ΔABD∼ΔAKC⇒ΔABD∼ΔAKC (g.g)

⇒ABAK=ADAC⇒ABAK=ADAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒AB.AC=AD.AK=AD.2R⇒AB.AC=AD.AK=AD.2R

c)

Dựng Cx⊥OCCx⊥OC hay CxCx là tiếp tuyến của (O)(O)

⇒ˆBCx=ˆBAC⇒BCx^=BAC^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung BCBC)

ˆEDC=ˆBACEDC^=BAC^ (do AEDBAEDB nội tiếp)

⇒ˆBCx=ˆEDC⇒BCx^=EDC^ mà chúng ở vị trí so le trong 

⇒DE//Cx⇒DE//Cx mà Cx⊥OC⇒DE⊥OCCx⊥OC⇒DE⊥OC.

 

Đáp án:

1. Ta có:  ˆAEH=90°AEH^=90° và  ˆAFH=90°AFH^=90°

Do đó: ˆAEH+ˆAFH=180°AEH^+AFH^=180° . Mà đây là hai góc đối nhau 

⇒⇒  tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn

Ta lại có:  ˆAEB=ˆADB=90°AEB^=ADB^=90°

⇒⇒  E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông.

Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được.

2. Ta có:  ˆACK=90°ACK^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hai tam giác vuông ADB và ACK có:

ˆABD=ˆAKCABD^=AKC^  (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Suy ra   ΔABD~ΔAKC(g.g)ΔABD~ΔAKC(g.g)

⇒ABAK=ADAC⇒AB.AC=AK.AD⇒ABAK=ADAC⇒AB.AC=AK.ADˆAFH=90°AFH^=90°0    

3. Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O)

Ta có:   ˆAFH=90°AFH^=90°1

Mặt khác, AEDB nội tiếp 

ˆAFH=90°AFH^=90°2 mà ˆAFH=90°AFH^=90°3  nên   ˆAFH=90°AFH^=90°4

Từ (1) và (2) ta có:   ˆAFH=90°AFH^=90°5