Đáp án:

a) Tứ giác AEBM là hình thoi

b) E, I, C thẳng hàng

c) Để tứ giác AEBM là hình vuông thì tam giác ABC là tam giác vuông cân

Giải thích các bước giải:

a)

Xét tứ giác AEBM:

$AD=DB$ (gt)

$ED=DM$ (E đối xứng với M qua D)

$\to$ Tứ giác AEBM là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Ta có: $\triangle ABC$ vuông tại A, đường trung tuyến AM

$\to AM=BM=MC=\dfrac{1}{2}BC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

$\to$ Tứ giác AEBM là hình thoi (hình bình hành có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thoi)

b)

Xét $\triangle ABC$:

D là trung điểm AB (gt)

M là trung điểm BC (gt)

$\to$ DM là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to DM=\dfrac{1}{2}AC\,\,\,(1), DM//AC(2)$

Từ (1):

Ta có: $DM=\dfrac{1}{2}EM\to EM=AC\,\,\,(=2DM)$

Từ (2):

$\to EM//AC\to \widehat{IME}=\widehat{IAC}$ (so le trong)

Xét $\triangle IME$ và $\triangle IAC$:

$EM=CA$ (cmt)

$\widehat{IME}=\widehat{IAC}$ (cmt)

$IM=IA$ (gt)

$\to \triangle IME=\triangle IAC$ (c.g.c)

$\to \widehat{MIE}=\widehat{AIC}$ (2 góc tương ứng)

Lại có: $\widehat{AIC}+\widehat{MIC}=180^o$ (kề bù)

$\to \widehat{MIE}+\widehat{MIC}=180^o$

$\to$ E, I, C thẳng hàng

c)

Để tứ giác AEBM là hình vuông

$\to AM\bot BM\to AM\bot BC$

Mà AM là đường trung tuyến của $\triangle ABC$

$\to$ AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\triangle ABC$

$\to \triangle ABC$ là tam giác vuông cân