Xét `\triangleSAB` và `\triangleSAC` có:

`SA` là cạnh chung

`\hat{SAB}=\hat{SAC}=90^o` (Do `SA` vuông góc với đáy)

`AB=AC` (Do `\triangleABC` đều)

`\Rightarrow\triangleSAB=\triangleSAC` (c-g-c)

`\Rightarrow SB=SC` (hai cạnh tương ứng)

`\Rightarrow \triangleSBC` cân tại `S`

`M` là trung điểm `BC\RightarrowSM\botBC`

Mặt phẳng `(P)` qua `A` vuông góc với `SM` cắt `SB,SC` lần lượt tại `E,F`

`\Rightarrow SM\bot(AEF) \Rightarrow SM\botEF`

$\begin{cases} SM\bot EF\\SM\bot BC\\EF\subset(SBC), BC\subset(SBC) \end{cases} \Rightarrow EF//BC$

Gọi `H=EF\cap SM`

Do $EF//BC$ nên theo định lí Thales ta được:

`{SE}/{SB}={SH}/{SM}={SF}/{SC}`

Thể tích khối chóp `S.ABC` gấp `4` lần thể tích khối chóp `S.AEF`

`Rightarrow {V_{S.AEF}}/{V_{S.ABC}}=1/4={SA}/{SA}.{SE}/{SB}.{SF}/{SC}=({SE}/{SB})^2`

`Rightarrow {SE}/{SB}=1/2 Rightarrow{SH}/{SM}={SE}/{SB}=1/2`

`Rightarrow H` là trung điểm `SM`   `(1)`

$\begin{cases} SM\bot (AEF)\\AH \subset(AEF) \end{cases} \Rightarrow AH\bot SM$ `(2)` $\begin{cases} SA\bot (ABC)\\AM\subset (ABC)\end{cases} \Rightarrow SA\bot AM \Rightarrow \triangle SAM$ vuông tại `A` `(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)` `\Rightarrow \triangle SAM` vuông cân tại `A` `\Rightarrow SA=AM`

`triangle ABC` đều cạnh `a` có `M ` là trung điểm `BC`

`\Rightarrow AM\bot BC \Rightarrow AM={a\sqrt3}/2\RightarrowSA={a\sqrt3}/2`

Thể tích khối chóp `S.ABC` là:

`V_{S.ABC}=1/3.SA.S_{\triangle ABC}=1/3.{a\sqrt3}/2. {a^2\sqrt3}/4=a^3/8`