1) $\Delta ABC$ có $MD\parallel AC$ (1) (vì cùng $\bot AB$)

và $M$ là trung điểm cạnh $BC$

$\Rightarrow MD$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}.AC$

Chứng minh tương tự $ME$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}.AC=EC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $CMDE$ là hình bình hành

 

2) $AH$ là đường cao $\Delta ABC$

Tứ giác $CMDE$ là hình bình hành suy ra $DE\parallel CM$

Hay $DE\parallel HM\Rightarrow MHDE$ là hình thang

$ME$ là đường trung bình $\Delta ABC\Rightarrow ME=\dfrac{1}{2}.AB=AD$ (3)

$\Delta ABH\bot H,D$ là trung điểm cạnh $AB$ nên $HD$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow DH=DA$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $ME=DH$

Tứ giác $MHDE$ là hình thang có $ME=DH\Rightarrow MHDK$ là hình thang cân.

 

3) Gọi $N=AK\cap BC$

Ta có $AK\parallel DH$

$\Rightarrow AN\parallel DH$ và có $D$ là trung điểm cạnh $AB$

$\Rightarrow DH$ là đường trung bình $\Delta ABN$

$\Rightarrow H$ là trung điểm cạnh $BN$ (*)

Ta có $DE\parallel BC\Rightarrow DK\parallel BN$

 và có $D$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow DK$ là đường trung bình $\Delta ABN$

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $AN$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $HK$ là đường trung bình $\Delta ABN$

$\Rightarrow HK\parallel AB$

$AB\bot AC\Rightarrow HK\bot AC$ (đpcm).