Đáp án:

a) Tứ giác BCNM là hình thang cân

b) Tứ giác AMHN là hình thoi

c) $S_{ACH}=\dfrac{15}{2}$ (cm$^2$)

d) Để tứ giác AMHN là hình vuông thì $\triangle ABC$ vuông cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MN//BC, MN=\dfrac{1}{2}BC$

Xét tứ giác BCNM:

$MN//BC$ (cmt)

$\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ ($\triangle ABC$ cân tại A)

$\to$ Tứ giác BCNM là hình thang cân

b)

$\triangle ABC$ cân tại A, đường cao AH

$\to$ AH đồng thời là trung tuyến

$\to$ H là trung điểm BC

Xét $\triangle ABC$:

H là trung điểm BC

M là trung điểm AB

$\to$ HM là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to HM//AC\to HM//AN$

và $HM=\dfrac{1}{2}AC$

Chứng minh tương tự

$\to HN=\dfrac{1}{2}AB$

Mà $AB=AC$ (gt)

$\to HM=HN$

Xét tứ giác AMHN:

$HM//AN$ (cmt)

$HM=AN\,\,\,\left(=\dfrac{1}{2}AC\right)$

$\to$ Tứ giác AMHN là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Mà $HM=HN$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMHN là hình thoi

c)

$S_{ACH}=\dfrac{1}{2}.AH.HC\\=\dfrac{1}{2}.AH.\dfrac{1}{2}BC\\=\dfrac{1}{4}.5.6\\=\dfrac{15}{2}$ (cm$^2$)

d)

Để tứ giác AMHN là hình vuông

$\to \widehat{MAN}=90^o$

$\to \widehat{BAC}=90^o$

$\to\triangle ABC$ vuông cân tại A

$\to$ Để tứ giác AMHN là hình vuông thì $\triangle ABC$ vuông cân tại A