a) Xét hình vuông ABCD có : AB = BC = CD = AD

Vì E đói xứng với A qua D => AD = DE 

Xét tam giác ACE có đường trung tuyến CD = AD = AE

=>Tam giác ACE vuông tại C mà có CD vừa là trung tuyến vừa là đường cao 

=> Tam giác ACE vuông cân tại C

b) Xét tam giác AHE có

I là trung điểm AH

K là trung điểm EH

=> IK là đường trung bình của tam giác AHE

=> IK // và = $\frac{1}{2}$ AE ( = DC = AD )

Mà ta có AD // BC

=>IK // BC

Xét tứ giác BCKI có :

IK //BC

IK= BC (cùng = AD )

=>BCKI là HBH 

c)=> 2 đường chéo BK và CI giao nhau tại trung điểm mỗi đường

=> N là trung điểm của BK và CI

CMTT ta đc M là trung điểm của ID và AK ( do AIKD là HBH cmtt với cách cm BCKI là HBH)

Xét tam giác ICD có 

M là trung điểm IC

N là trung điểm ID

=> MN là đường trung bình cuả tam giác  ICD

=> MN = $\frac{1}{2}$ CD = $\frac{1}{2}$ AD

d) Ta có AH // KD

AH ⊥ BK

=> BK ⊥ KD 

=> Tam giác BKD vuông tại K

Gọi O là giao của AC và BD

=> O là trung điểm của BD và AC ( tc hình vuông ) , AC = BD

Xét tam giác BKD vuông tại K có KO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD

=> KO = $\frac{1}{2}$ BD = $\frac{1}{2}$ AC ( vì AC = BD )

Xét tam giác AKC có đường trung tuyến  KO = $\frac{1}{2}$ AC 

=> Tam giác AKC vuông tại K

=> góc AKC = 90 độ