`a)` Xét $∆DAB$ có $O$ là trung điểm $AB$

`=>DO` là trung tuyến `∆DAB`

Vì `DO=R; AB=2R`

`=>DO=1/ 2 AB`

`=>∆DAB` vuông tại `D` (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)

$\\$

`DH=6cm;HB=4,5cm`

Xét $∆DHB$ vuông tại `H`

`=>DB^2=DH^2+HB^2` (định lý Pytago)

`=>DB=\sqrt{6^2+4,5^2}=7,5cm`

$\\$

Xét $∆DAB$ vuông tại `D` có $DH\perp AB$

`=>1/{DH^2}=1/{DA^2}+1/{DB^2}` (hệ thức lượng)

`=>1/{DA^2}=1/{DH^2}-1/{DB^2}=1/{6^2}-1/{7,5^2}=1/{100}`

`=>DA^2=100`

`=>DA=\sqrt{100}=10cm`

Vậy `DB=7,5cm; DA=10cm`

$\\$

`b)` Vì `OB=OD=R`

`=>∆OBD` cân tại `O`

`G` là trung điểm $BD$ (gt)

`=>OG` vừa là trung tuyến, đường cao và phân giác `∆OBD`

`=>\hat{DO F}=\hat{BO F}`

$\\$

Xét $∆DO F$ và $∆BO F$ có:

`\qquad O F` là cạnh chung 

`\qquad \hat{DO F}=\hat{BO F}`

`\qquad OD=OB=R`

`=>∆DO F=∆BO F` (c-g-c)

`=>\hat{ODF}=\hat{OBF}=90°`

`=>FD`$\perp OD$

`=>FD` là tiếp tuyến tại `D` của `(O)` (đpcm)

$\\$

`c)` Ta có `O F`//$AD$ (cùng $\perp DB$)

`=>\hat{DAB}=\hat{BO F}` (hai góc đồng vị)

Xét $∆DAB$ và $∆BO F$ có:

`\qquad \hat{ADB}=\hat{OBF}=90°`

`\qquad \hat{DAB}=\hat{BO F}`

`=>∆DAB∽∆BOF` (g-g)

`=>{AD}/{OB}={BD}/{FB}`

`=>{AD}/{2OB}={2DG}/{2BF}`

`=>{AD}/{AB}={DG}/{BF}`

$\\$

Xét $∆ADG$ và $∆ABF$ có:

`\qquad \hat{ADG}=\hat{ABF}=90°`

`\qquad {AD}/{AB}={DG}/{BF}`

`=>∆ADG∽∆ABF` (c-g-c)

`=>\hat{DAG}=\hat{BA F}`

`=>\hat{DA F}+\hat{FAG}=\hat{BAG}+\hat{FAG}`

`=>\hat{DA F}=\hat{BAG}` (đpcm)

$\\$

`d)` Xét $∆ABF$ có $PH$//$FB$ (cùng $\perp AB$)

`=>{PH}/{FB}={AH}/{AB}` (hệ quả định lý Talet)

`=>AH.FB=AB.PH` `(1)`

$\\$

Vì $O F$//$AD$ (cùng $\perp DB$)

`=>\hat{DAH}=\hat{FO B}` (hai góc đồng vị)

Xét $∆DAH$ và $∆FOB$ có:

`\qquad \hat{DHA}=\hat{FBO}=90°`

`\qquad \hat{DAH}=\hat{FO B}`

`=>∆DAH∽∆FOB` (g-g)

`=>{AH}/{OB}={DH}/{FB}`

`=>AH.FB=OB.DH` `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>AB.PH=OB.DH`

`=>2OB.PH=OB.DH`

`=>2PH=DH`

Ta có:

+) ` S_{∆PAB}=1/ 2 PH.AB`

`<=>S_{∆IAO}+S_{BPIO}=1/ 2 PH.2OA=PH.OA` 

$\\$

+) `S_{∆DAO}=1/ 2 DH.OA`

`<=>S_{∆IAO}+S_{∆DIA}=1/ 2 . 2PH.OA=PH.OA` 

$\\$

`=>S_{∆IAO}+S_{BPIO}=S_{∆IAO}+S_{∆DIA}`

`=>S_{BPIO}=S_{∆DIA}` (đpcm)