Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. Xét $\triangle$ BAM và $\triangle$ BNM có:

BM chung

$\widehat{ABM}$ = $\widehat{NBM}$ (Vì BM phân giác $\widehat{ABN}$)

AB = BN (gt)

=> $\triangle$ BAM = $\triangle$ BNM (c-g-c)

=> AM = MN ;

      $\widehat{BNM}$ = $\widehat{BAM}$ = $90^\circ$

=> $\triangle$ BNM vuông tại N

2. Xét $\triangle$ ABN có AB = BN 

=> $\triangle$ ABN cân tại B 

Lại có BI là đường phân giác

=> BI cũng là đường trung tuyến

=> I là trung điểm AN

3. $\triangle$ ABC vuông tại A

=> $\widehat{ABC}$ = $90^\circ$ - $\widehat{ACB}$ (1)

    $\triangle$ BNM vuông tại N

=> $\widehat{NMC}$ = $90^\circ$ - $\widehat{MCN}$ 

                                    = $90^\circ$ - $\widehat{ACB}$ (2)

* Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ABC}$ = $\widehat{NMC}$ (đpcm)

* Xét $\triangle$ AMK và $\triangle$ NMC có:

AM = MN (cmt)

$\widehat{MAK}$ = $\widehat{MNC}$ = $90^\circ$

AK = NC (gt)

=> $\triangle$ AMK = $\triangle$ NMC (c - g - c)

=> $\widehat{AKM}$ = $\widehat{NCM}$

Mà $\widehat{NCM}$ + $\widehat{ABN}$ = $90^\circ$ ($\triangle$ ABC vuông tại A)

=> $\widehat{AKM}$ + $\widehat{ABN}$ = $90^\circ$

=> $\triangle$ BKN vuông tại N

=> KN $\bot$ BC

Mà MN $\bot$ BC (cmt)

=> K, M, N thẳng hàng (đpcm)

P/s: Chúc em học tốt :3