$\\$

`a,`

`D` đối xứng `M` qua `I` (gt) nên `I` là trung điểm của `MD`

Tứ giác `ADCM` có :

`I` là trung điểm của `MD,AC` (gt, cmt)

`<=>ADCM` là hình bình hành

`b,`

`\triangle ABC` có : `M,I` là trung điểm của `BC,AC` (gt)

`=>MI` là đường trung bình

`=>` $MI//AB$ và `MI=1/2 AB` 

`MI=1/2 AB, AK=1/2 AB` (cmt, gt)

`=>MI=AK`

Tứ giác `AKMI` có : `MI=AK` và $MI//AK$ (cmt)

`<=>AKMI` là hình bình hành

Để `AKMI` là hình chữ nhật

`=>` Hình bình hành `AKMI` có `hat{KAI}=90^o`

`=>hat{BAC}=90^o`

`=>\triangle ABC` vuông tại `A`

Vậy `\triangle ABC` vuông tại `A` để `AKMI` là hình chữ nhật

`c,`

`ADCM` là hình bình hành (cmt)

`=>AD=CM` và $AD//CM$

`E` đối xứng `M` qua `K` (gt) tức `K` là trung điểm của `ME`

Tứ giác `AEBM` có : `K` là trung điểm của `AB,ME` (gt, cmt)

`<=>AEBM` là hình bình hành

`=>AE=BM` và $AE//BM$

$AE//BM,AD//MC$ mà `B,M,C` thẳng hàng

`=> E,A,D` thẳng hàng (1)

`AE=BM, AD=CM` mà `BM=CM`

`=> AE=AD` (2)
(1)(2) `=>A` là trung điểm của `DE`

`=>D` đối xứng `E` qua `A`

`d,`

Gọi `O` là giao của `BD,EC` (*)

$AD//CM$ (cmt) hay $DE//BC$

`AD=1/2 DE, AD=CM=1/2 BC` (cmt)

`=>DE=BC`

Tứ giác `BEDC` có : $ED//BC$ và `DE=BC`

`<=>BEDC` là hình bình hành

`=>O` là trung điểm của `BD,EC`

`AD=CM, CM=BM` (cmt, gt)

`=>AD=BM`

Tứ giác `ADMB` có : $AD//BM, AD=BM$

`<=>ADMB` là hình bình hành

`=>AM` cắt `BD` tại trung điểm mỗi đường mà `O` là trung điểm của `BD`

`=>O` là trung điểm của `AM`

`=>AM` đi qua `O` (**)
(*)(**) `=>BD,EC,AM` đồng quy