Giải thích các bước giải:

`a)`
Ta có:
`E` là trung điểm của `AC(text{gt})`
`=>AE=CE`
`E` là trung điểm của `DF`
`=>DE=FE`
Xét `ΔADE` và `ΔCFE` ta có:
`AE=CE(text{gt})`
`hat{AED}=hat{CEF}(text{hai góc đối đỉnh})`
`DE=FE(text{gt})`
`=>ΔADE=ΔCFE(text{c-g-c})`
`=>AD=FC` mà `AD=BD(D` là trung điểm của `AB`)
`=>DB=CF(text{ĐPCM})`
`b)`
Ta có:
`ΔADE=ΔCFE(text{theo phần a})`
`=>hat{ADE}=hat{CFE}(text{hai góc tương ứng})`
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
`=>AD////CF` hay `AB////CF`
`=>hat{BDC}=hat{FCD}(text{hai góc so le trong})`
Xét `ΔBDC` và `ΔFCD` ta có:
`DB=CF(text{theo phần a})`
`hat{BDC}=hat{FCD}(text{cmt})`
`DC:text{cạnh chung})`
`=>ΔBDC=ΔFCD(text{c-g-c})(text{ĐPCM})`
`c)`
Xét `ΔABC` ta có:
`D` là trung điểm của `AB(text{gt})`
`E` là trung điểm của `AC(text{gt})`
`=>DE` là đường trung bình của `ΔABC`
`=>DE////BC(text{ĐPCM})`
`DE=1/2BC(text{ĐPCM})`

a/

Xét `\triangle ADE` và `\triangle CEF` có :

$\\$

`AE =EC` ( gt)

$\\$

`\hat{AED} = \hat{CEF}` ( `2` góc đối đỉnh)
$\\$

`DE = EF` (gt)

$\\$
`=> \triangle ADE = \triangle CFE` ( c . g . c)

$\\$
Suy ra : `AD = FC` . Mà `AD = DB` (gt) `=> DB = CF` (đpcm)..

b/ 

`\triangle ADE = \triangle CFE`  (cmt)

$\\$
`=> \hat{ADE} =\hat{EFC}` ( `2` góc tương ứng)

$\\$

Mà đây là `2` góc so le trong . Nên $AD \parallel CF \Rightarrow AB \parallel FC$ 

$\\$

Suy ra : `\hat{BDC} = \hat{FCD}` ( `2` góc so le trong )

$\\$
Xét `\triangle BDC ` và `\triangle FCD` có :

$\\$
`BD = FC` (cmt)
$\\$
`\hat{BDC} = \hat{FCD}` (cmt)
$\\$
`CD`_ cạnh chung

$\\$

`=> \triangle BDC = \triangle FCD` ( c . g . c)
$\\$

c/

`\triangle BDC = \triangle FCD` (cmt)

$\\$
Suy ra : `\hat{DCB} = \hat{FDC}` ( `2` góc tương ứng )

$\\$
Mà `2` góc này ở vị trí so le trong . Nên $DF \parallel BC \Rightarrow DE \parallel BC$ (đpcm)

$\\$

`\triangle BDC = \triangle FCD` (cmt) 

$\\$
Suy ra : `BC = DF` . Mà `DE = DF ->2DE =DF` .

$\\$ 
Vì vậy `BC =2DE => DE =1/2BC`