a) Hình thang cân ABCD có:

  AB//CD (t/c), AB=$\frac{1}{2}$BC (gt)

Mà E là trung điểm của CD (gt)

⇒ AB//CE, AB=CE (cùng bằng $\frac{1}{2}$BC )

Tứ giác ABCE có: AB//CE, AB=CE (cmt)

⇒ ABCE là hình bình hành (dấu hiệu)

b) Gọi O là giao điểm của AF và DC

Vì F là điểm đối xứng với A qua DC (gt)

⇒ O là trung điểm của AF

⇒ AF⊥DC, AO=OF (t/c)

Mà E ∈ DC ⇒ AF⊥DE

Hình bình hành ABCE có:

AE=BC(t/c) (1)

Hình thang cân ABCD có:

AD=BC(t/c) (2)

Từ (1) và (2), ta có: AE=AD

⇒ ΔADE cân tại A (ĐL)

⇒ AO là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của ΔADE

⇒ O là trung điểm của DE (ĐN)

⇒ DO=OE (ĐN)

Tứ giác AEFD có 2 đường chéo DE và AF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (cmt)

⇒ AEFD là hình bình hành (dấu hiệu)

mà AF ⊥ DE (cmt)

⇒ AEFD là hình thoi (dpcm)