Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 S = $\frac{1}{x(x + 1)}$ + $\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}$ + $\frac{1}{(x + 2)(x + 3}$ + ...... + $\frac{1}{(x + 2007)(x + 2008)}$ 

S = $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x + 1}$ + $\frac{1}{x + 1}$ - $\frac{1}{x + 2}$ + $\frac{1}{x + 2}$ - $\frac{1}{x + 3}$ + ...... + $\frac{1}{x + 2007}$ - $\frac{1}{x + 2008}$ 

S =  $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{x + 2008}$ 

S = $\frac{x + 2008}{x(x + 2008)}$ - $\frac{x}{x + 2008}$ 

S = $\frac{x + 2008 - x}{x(x + 2008)}$ 

S = $\frac{2008}{x(x + 2008)}$ 

$\\$

Công thức tổng quát :

`1/(n(n+1))=1/n - 1/(n+1)`

Chứng minh :

`1/(n(n+1))`

`=(n+1-n)/(n(n+1))`

`= (n+1)/(n(n+1)) - n/(n(n+1))`

`=1/n - 1/(n+1)` (Bằng VP)

Vận dụng vào bài ta được :

`S=1/(x(x+1))+1/((x+1)(x+2))+...+1/((x+2007)(x+2008))`

`=(x+1-x)/(x(x+1))+(x+2-x-1)/((x+1)(x+2))+...+(x+2008-x-2007)/((x+2007)(x+2008))`

`= 1/x - 1/(x+1) +1/(x+1)-1/(x+2)+...+1/(x+2007)-1/(x+2008)`

`= 1/x - 1/(x+2008)`

`=(x+2008)/(x(x+2008))-x/(x(x+2008))`

`=(x+2008-x)/(x(x+2008))`

`=2008/(x^2+2008x)`

Vậy `S=2008/(x^2+2008x)`