a) $\Delta ABC$ có $E$ là trung điểm cạnh $AB$, $G$ là trung điểm cạnh $BC$

$\Rightarrow EG$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow EG\parallel AC$ hay $EG\parallel AF$

Và $EG=\dfrac{1}{2}AC=AF$ (do $F$ là trung điểm $AC$)

$\Rightarrow AEGF$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối diện $AF,EG$ song song và bằng nhau)

Lại có $\widehat{EAF}=90^o$

$\Rightarrow AEGF$ là hình chữ nhật.

 

b) $\Delta ABC$ có $G$ là trung điểm cạnh $BC$

và $F$ là trung điểm cạnh $AC$

$\Rightarrow GF\parallel AB$ hay $FI\parallel BE$

Và $GF=\dfrac{1}{2}AB=BE$ mà $GF=FI\Rightarrow BE=FI$

$\Rightarrow BEIF$ là hình bình hành ( có cặp cạnh đối diện $BE,FI$ song song và bằng nhau)

 

c) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AG$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AG=GC$

Xét $\Delta $ vuông $AFG$ và $\Delta $ vuông $AFI$ có:

$AF$ chung

$GF=FI$ (1)

$\Rightarrow \Delta $ vuông $AFG=\Delta $ vuông $AFI$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AG=AI$ (2)

Chứng minh tương tự $\Delta$ vuông $GFC=\Delta $ vuông $CFI$ (2 cạnh góc vuông)

$\Rightarrow GC=CI$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AG=GC=CI=AI\Rightarrow AGCI$ là hình thoi.

 

d) Để hình thoi $AGCI$ là hình vuông thì $\widehat{GAI}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{GAF}+\widehat{FAI}=90^o$ mà $\widehat{GAF}=\widehat{FAI}$ (do $\Delta GAF=\Delta IAF$)

$\Rightarrow 2\widehat{GAF}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{GAF}=45^o$

mà $\widehat{GCA}=\widehat{GAF}=45^o$ (do $\Delta AGC$ cân đỉnh $G$)

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$

Vậy $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh $A$ thì $AGCI$ là hình vuông.