Gửi bạn:

$a,$ Ta có: $AB//CD$ ($ABCD$ là hình bình hành)

$⇒AE//DF(E∈AB,F∈CD)$

$E$ là trung điểm của $AB$

$⇒$ $AE=EB=\dfrac{1}{2}.AB$

$F$ là trung điểm của $CD$

$⇒$ $DF=FC=\dfrac{1}{2}.CD$

Mà: $AB=CD$ ($ABCD$ là hình bình hành)

$⇒$ $AE=EB=DF=FC$

Lại có: $AE//DF$

$⇒$ $AEFD$ là hình bình hành

$AE//FC$ $(AB//CD)$

$AE=FC=\dfrac{1}{2}.AB=\dfrac{1}{2}.CD$

$⇒$ $AECF$ là hình bình hành

$b,$ $AB=2AD$

Mà: $AE=EB=CF=DF$

$⇒$ $AE=EB=CF=DF=AD=\dfrac{1}{2}.AB$

$CMTT$ ta được: $EBCF$ là hình bình hành

$⇒$ $AEFD$,$AEBCF$ là hình thoi

$⇒$ $AF⊥DE,EC⊥BF$

Lại có: $M$ là giao của $AF,DE$

$N$ là giao điểm của $EC,BF$

$⇒$ $\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^o$

$EB//FD$

$EB=FD$

$⇒$ $EBFD$ là hình bình hành

$⇒$ $NF//ME$

$⇒$ $\widehat{EMF}+\widehat{MFN}=180^o$ (trong cùng phía)

$⇒$ $\widehat{MFN}=90^o$

Xét tứ giác $EFMN$ có:

$\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=\widehat{MFN}=90^o$

$⇒$ $EFMN$ là hình chữ nhật

$c,$ Nếu $EFMN$ là hình vuông

$⇒$ $EM=FN=MF=FN$

Mà $M$ là trung điểm của $AF,DE$

$N$ là trung điểm của $EC,BF$

$⇒$ $EM=MD=AM=MF=EN=NC=BN=NF$

$⇒$ $AF=DE=EC=BF$

 $⇒$ $AEFD$,$BEFC$ là hình vuông

$⇒$ $\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=\widehat{DCB}=\widehat{CBA}=90^o$

$⇒$ $ABCD$ là hình chữ nhật

Vậy khi $ABCD$ là hình chữ nhật thì $EFMN$ là hình vuông